Kiedy używasz wzoru Herona, aby znaleźć obszar?

Możesz go używać, gdy znasz długości wszystkich trzech boków trójkąta.

Mam nadzieję, że to było pomocne.

Odpowiedź:

Formuła Herona jest prawie zawsze niewłaściwą formułą; wypróbuj Twierdzenie Archimedesa o trójkącie z obszarem #ZA# i boki #ABC#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # gdzie # s = 1/2 (a + b + c) #

To ostatnie jest cienko zawoalowaną czaplą.

Wyjaśnienie:

Bohater Aleksandrii napisał w pierwszym wieku naszej ery. Dlaczego nadal torturujemy uczniów jego wynikiem, gdy są znacznie ładniejsze nowoczesne odpowiedniki, nie mam pojęcia.

Formuła czapli dla tego obszaru #ZA# trójkąta z bokami #ABC# jest

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # gdzie # s = 1/2 (a + b + c) # jest semiperimeter.

Nie ma wątpliwości, że ta formuła jest niesamowita. Ale niewygodne jest używanie z powodu ułamka i, jeśli zaczniemy od współrzędnych, czterech pierwiastków kwadratowych.

Zróbmy matematykę. Kwadrat i eliminujemy # s # który służy głównie do ukrycia #16# i ważna faktoryzacja. Możesz spróbować najpierw sam.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To już dużo lepsze niż forma Herona. Zapisujemy ułamek do końca i nie zastanawiamy się już nad znaczeniem semiperimetru.

Zdegenerowana sprawa mówi. Gdy jeden z tych czynników ze znakiem minus wynosi zero, wtedy dwie strony sumują się dokładnie na drugiej stronie. Są to odległości między trzema punktami współliniowymi, trójkątem zdegenerowanym, i otrzymujemy obszar zerowy. Ma sens.

The # a + b + c # czynnik jest interesujący. To, co mówi nam, że ta formuła nadal działa, jeśli użyjemy przemieszczeń, podpisanych długości, zamiast wszystkich pozytywnych.

Formuła jest nadal niewygodna w użyciu podanych współrzędnych. Pomnóżmy to; możesz spróbować samemu;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2 bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2 bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Ta forma zależy tylko od kwadratów długości. Jest wyraźnie w pełni symetryczny. Możemy teraz wyjść poza Heron i powiedzieć, czy kwadraty długości są racjonalne, podobnie jak obszar kwadratu.

Ale możemy zrobić lepiej, jeśli zauważymy

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Odejmowanie,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To najładniejsza forma.

Jest asymetryczna forma, która zazwyczaj jest najbardziej przydatna. Zauważamy

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Dodawanie tego do

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

To najbardziej przydatna forma. Istnieją trzy sposoby na napisanie tego, zamiana stron.

Zbiorowo nazywa się to twierdzeniem Archimedesa z Rational Trigonometry NJ Wildbergera.

Kiedy podajesz współrzędne 2D, często Formuła Sznurowadła jest najszybszą ścieżką do tego obszaru, ale oszczędzę to dla innych postów.