Jaki jest limit, gdy x zbliża się do nieskończoności (ln (x)) ^ (1 / x)?

Jaki jest limit, gdy x zbliża się do nieskończoności (ln (x)) ^ (1 / x)?
Anonim

Jest to dość proste. Musisz użyć tego faktu

ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) ln(x)=eln(ln(x))

Wtedy to wiesz

ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) ln(x)1x=eln(ln(x))x

A potem dzieje się interesująca część, którą można rozwiązać na dwa sposoby - używając intuicji i używając matematyki.

Zacznijmy od części intuicyjnej.

lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ ((„coś mniejszego niż x”) / x) = e ^ 0 = 1

Zastanówmy się, dlaczego tak jest?

Dzięki ciągłości e ^ x funkcja możemy przenieść limit:

lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x))

Aby ocenić ten limit lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) , możemy użyć reguły de l'Hospitala, która stwierdza:

lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x)))

Dlatego, gdy liczymy pochodne, otrzymujemy:

lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x)))

Jako pochodne 1 / (xln (x)) dla nominatora i 1 dla mianownika.

Ten limit jest łatwy do obliczenia 1 / infty rodzaj limitu, który wynosi zero.

Dlatego to widzicie

lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1

A to znaczy lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 także.