Jaki jest limit, gdy x zbliża się do nieskończoności (ln (x)) ^ (1 / x)?

Jest to dość proste. Musisz użyć tego faktu

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Wtedy to wiesz

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

A potem dzieje się interesująca część, którą można rozwiązać na dwa sposoby - używając intuicji i używając matematyki.

Zacznijmy od części intuicyjnej.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ ((„coś mniejszego niż x”) / x) = e ^ 0 = 1 #

Zastanówmy się, dlaczego tak jest?

Dzięki ciągłości # e ^ x # funkcja możemy przenieść limit:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Aby ocenić ten limit #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, możemy użyć reguły de l'Hospitala, która stwierdza:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Dlatego, gdy liczymy pochodne, otrzymujemy:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Jako pochodne # 1 / (xln (x)) # dla nominatora i #1# dla mianownika.

Ten limit jest łatwy do obliczenia # 1 / infty # rodzaj limitu, który wynosi zero.

Dlatego to widzicie

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

A to znaczy #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # także.