Rozwiąż 10 cx x 13 cali x / 2 = 5?

Odpowiedź:

Rozwiązanie: # (x ~~ 106,26 ^ 0, x ~~ -106,26 ^ 0) #

Wyjaśnienie:

# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # lub

# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #

# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # lub

# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # lub

# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # lub

# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. # Zarówno

# (4 cos (x / 2) +5) = 0 lub (5 cos (x / 2) -3) = 0 #

# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # lub

# cos (x / 2)! = 5/4 # od zasięgu #cos x # jest #-1,1#

# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # lub

#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53,13 ^ 0 #

Również #cos (-53,13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~~ 106,26 ^ 0 #

i # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #

Rozwiązanie: # (x ~~ 106,26 ^ 0, x ~~ -106,26 ^ 0) # Ans

Odpowiedź:

# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # liczba całkowita # k #

Wyjaśnienie:

Zacznijmy od zastąpienia # y = x / 2 # pozbyć się kątów ułamkowych.

# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #

Ulubioną formą kosinusu jest podwójny wzór

#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #

Zastępowanie, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #

# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #

To bolesny czynnik, ale pojawia się trochę wyszukiwania

# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #

#cos y = 3/5 lub cos y = -5 / 4 #

Możemy zignorować cosinus poza zasięgiem.

#cos y = 3/5 #

Możemy użyć formuły podwójnego kąta:

#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #

# x = arccos (-7/25) #

To potrójny pitagorejczyk #7^2+24^2=25^2# więc możemy spróbować napisać to jako # arctan (pm 24/7) # ale to bardziej obce korzenie.

# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # liczba całkowita # k #

Czek:

Sprawdzimy parę z kalkulatorem.

# x = tekst {łuk} tekst {cos} (- 7/25) około 106.260205 ^ circ #

# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 razy 10 ^ {- 8} quad sqrt #

Dodajmy 360 i sprawdź ponownie:

# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 quad # NIE DZIAŁA.

Z powodu połowy kąta wydaje się, że prawidłowa odpowiedź

# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # liczba całkowita # k #