Pytanie # 90cf3 + Przykład

Odpowiedź:

Aby znaleźć korzenie równań # e ^ x = x ^ 3 #, Zalecam użycie rekurencyjnej metody analizy numerycznej, zwanej metodą Newtona

Wyjaśnienie:

Zróbmy przykład.

Aby użyć metody Newtona, piszesz równanie w formie #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Obliczać #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Ponieważ metoda wymaga wielokrotnego wykonywania tych samych obliczeń, aż do uzyskania zbieżności, zalecam użycie arkusza kalkulacyjnego Excel; reszta mojej odpowiedzi będzie zawierała instrukcje, jak to zrobić.

Wpisz dobre odgadnięcie dla x w komórce A1. Dla tego równania wprowadzę 2.

Wpisz następujące dane w komórce A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Zwróć uwagę, że powyższe jest językiem arkusza kalkulacyjnego Excel dla

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Skopiuj zawartość komórki A2 do formatu A3 do A10. Po zaledwie 3 lub 4 rekursjach można zauważyć, że metoda się zbiegła

#x = 1.857184 #

Odpowiedź:

Możemy użyć twierdzenia o wartości pośredniej, aby zobaczyć, że każda para ma co najmniej jeden punkt przecięcia.

Wyjaśnienie:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # jest ciągły na całej linii rzeczywistej.

W # x = 0 #, mamy #f (0) = 1 #.

W # x = -1 #, mamy #f (-1) = 1 / e-1 # co jest negatywne.

#fa# jest ciągły #-1,0#, więc jest co najmniej jeden #do# w #(-1,0)# z #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # jest ciągły na całej linii rzeczywistej.

W # x = 0 #, mamy #g (0) = 1 #.

W # x = 2 #, mamy #g (2) = e ^ 2-8 # co jest negatywne.

(Zauważ, że # e ^ 2 ~~ 2,7 ^ 2 <7,3 <8 #.)

#sol# jest ciągły #0,2#, więc jest co najmniej jeden #do# w #(0,2)# z #g (c) = 0 #.