Pytanie # 53a2b + Przykład

Odpowiedź:

Ta definicja odległości jest niezmienna pod zmianą ramy inercyjnej, a zatem ma znaczenie fizyczne.

Wyjaśnienie:

Przestrzeń Minkowskiego jest skonstruowana jako 4-wymiarowa przestrzeń ze współrzędnymi parametrów # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, gdzie zwykle mówimy # x_0 = ct #. U podstaw szczególnej teorii względności znajdują się transformacje Lorentza, które są przekształceniami z jednej ramy bezwładnościowej w drugą, które pozostawiają niezmienną prędkość światła. Nie przejdę do pełnego wyprowadzenia transformacji Lorentza, jeśli chcesz, żebym to wyjaśnił, po prostu zapytaj, a ja przejdę do szczegółów.

Ważne jest, co następuje. Kiedy patrzymy na przestrzeń euklidesową (przestrzeń, w której mamy zwykłą definicję długości, do której jesteśmy przyzwyczajeni) # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), mamy pewne przekształcenia; rotacje przestrzenne, tłumaczenia i lustra. Jeśli obliczymy odległość między dwoma punktami w różnych klatkach odniesienia połączonych tymi przekształceniami, znajdziemy odległość, która ma być taka sama. Oznacza to, że odległość euklidesowa jest niezmienna w tych przekształceniach.

Teraz rozszerzamy to pojęcie na 4-wymiarową czasoprzestrzeń. Przed teorią szczególnej teorii względności Einsteinsa połączyliśmy ramy inercyjne za pomocą transformacji Galilei, które właśnie zastąpiły współrzędną przestrzenną # x_i # przez # x_i-v_it # dla #iin {1,2,3} # gdzie # v_i # jest prędkością obserwatora w #ja# kierunek względem oryginalnej ramki. Ta transformacja nie pozostawiła niezmiennej prędkości światła, ale pozostawiła odległość indukowaną przez element liniowy # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, po prostu dlatego, że nie ma zmiany współrzędnych czasu, więc czas jest absolutny.

Jednak transformacja Galilei nie opisuje dokładnie transformacji jednej ramy bezwładnościowej na inną, ponieważ wiemy, że prędkość światła jest niezmienna przy odpowiednich przekształceniach współrzędnych. Dlatego wprowadziliśmy transformację Lorentza. Odległość euklidesowa wydłużona do 4-dim czasoprzestrzeni, jak to zrobiono powyżej, nie jest niezmienna w ramach tej transformacji Lorentza, jednakże odległość indukowana przez # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # jest to, co nazywamy właściwą odległością. Więc nawet jeśli ta odległość euklidesowa, w której trzyma się twierdzenie Pitagorasa, jest doskonale przyzwoitą strukturą matematyczną na 4 słabej przestrzeni, to nie ma ona żadnego fizycznego znaczenia, ponieważ zależy od obserwatora.

Odpowiednia odległość nie jest zależna od obserwatora, dlatego możemy nadać jej fizyczne znaczenie, odbywa się to poprzez połączenie łuku linii świata przez przestrzeń Minkowskiego, używając tej odległości do czasu upływu obserwowanego przez obiekt przemieszczający się wzdłuż tej linii świata. Zauważ, że jeśli zostawimy czas ustalony, twierdzenie Pitagorasa nadal będzie się utrzymywać we współrzędnych przestrzennych.

EDYCJA / DODATKOWE WYJAŚNIENIE:

Pierwotny pytający o to pytanie poprosił mnie, abym opracował nieco więcej, napisał: „Dzięki. Ale, czy mógłbyś wyjaśnić trochę dwa ostatnie punkty trochę więcej. W książce widziałem, że mieli # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Proszę wyjaśnić „W istocie mamy tutaj dwuwymiarową wersję tego, co opisałem powyżej. Mamy opis czasoprzestrzeni z jednym i jednym wymiarem przestrzeni. Na tej podstawie definiujemy odległość, a dokładniej normę (odległość od pochodzenie do punktu) # s # używając formuły # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # gdzie # x # jest współrzędną przestrzenną i # t # współrzędna czasowa.

To, co zrobiłem powyżej, było trójwymiarową wersją tego, ale co ważniejsze, użyłem # (ds) ^ 2 # zamiast # s ^ 2 # (Dodałem nawiasy, aby wyjaśnić, co jest do kwadratu). Bez zbytniego wchodzenia w szczegóły geometrii różniczkowej, jeśli mamy linię łączącą dwa punkty w przestrzeni, # ds # to długość małego fragmentu linii, tak zwanego elementu liniowego. Mamy wersję 2D tego, co napisałem powyżej # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, która wiąże długość tego małego fragmentu z drobną zmianą współrzędnych. Aby obliczyć odległość od początku do punktu # x_0 = a, x_1 = b # w czasoprzestrzeni obliczamy długość prostej biegnącej od początku do tego punktu, ta linia jest podana # x_0 = a / bx_1 # gdzie # x_1in 0, b #, zauważamy to # dx_0 = a / bdx_1 #, więc # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, więc # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, które możemy zintegrować, dając # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

W związku z tym # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # w # (t, x) # współrzędne.

Tak więc to, co napisałem powyżej, daje to, co czytasz w książce. Jednak wersja elementu liniowego pozwala obliczyć długość dowolnej linii, a nie tylko linii prostych. Opowieść o transformacji Lorentza wciąż trwa, ta norma # s # jest niezmienny przy zmianie ramki odniesienia, podczas gdy # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # nie jest.

Fakt, że twierdzenie Pitagorasa nie trzyma się, nie jest zaskakujące. Twierdzenie Pitagorasa znajduje się w geometrii euklidesowej. Oznacza to, że przestrzeń, w której pracujesz, jest płaska. Przykładem przestrzeni, które nie są płaskie, jest powierzchnia kuli. Jeśli chcesz znaleźć odległość między dwoma punktami na tej powierzchni, bierzesz długość najkrótszej ścieżki nad tą powierzchnią, łącząc te dwa punkty. Jeśli skonstruowałbyś trójkąt prawy na tej powierzchni, który wyglądałby zupełnie inaczej niż trójkąt w przestrzeni euklidesowej, ponieważ linie nie byłyby proste, twierdzenie Pitagorasa nie zachowuje się ogólnie.

Inną ważną cechą geometrii euklidesowej jest to, że po umieszczeniu układu współrzędnych na tej przestrzeni, każda współrzędna pełni tę samą rolę. Możesz obrócić osie i skończyć z tą samą geometrią. W geometrii Minkowskiego powyżej nie wszystkie współrzędne mają tę samą rolę, ponieważ osie czasu mają znak minus w równaniach, a inne nie. Gdyby tego znaku minus nie było, czas i przestrzeń miałyby podobną rolę w czasoprzestrzeni, a przynajmniej w geometrii. Ale wiemy, że przestrzeń i czas nie są takie same.