Jak niejawnie odróżnić 2x / y = ysqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -x?

Odpowiedź:

# dy / dx = - (yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) #

Wyjaśnienie:

W porządku, to jest bardzo długi. Zliczę każdy krok, aby to ułatwić, a także nie połączyłem kroków, żebyś wiedział, co się dzieje.

Zacząć od:

# 2xy ^ -1 = y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) -x #

Najpierw bierzemy # d / dx # każdego terminu:

2. # d / dx 2xy ^ -1 = d / dx y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) - d / dx x #

3. # d / dx 2x y ^ -1 + xd / dx y ^ -1 = d / dx y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + yd / dx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) - d / dx x #

4. # 2y ^ -1 + xd / dx y ^ -1 = d / dx y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + (y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (-1/2)) / 2d / dx x ^ 2 + y ^ 2 -1 #

5. # 2y ^ -1 + xd / dx y ^ -1 = d / dx y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + (y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (-1/2)) / 2 (d / dx x ^ 2 + d / dx y ^ 2) - 1 #

6. # 2y ^ -1 + xd / dx y ^ -1 = d / dx y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + (y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (-1/2)) / 2 (2x + d / dx y ^ 2) - 1 #

Teraz używamy # d / dx = d / dy * dy / dx #:

7. # 2y ^ -1-dy / dxxy ^ -2 = dy / dx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + (y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) / 2 (2x + dy / dx2y) -1 #

8. Teraz przestawiamy:

# -dy / dx (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)) = yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) + dy / dxy ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1 #

9. # -dy / dx (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) = yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1 #

10. # dy / dx = - (yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) #

Jak niejawnie odróżnić -1 = xy ^ 2 + x ^ 2y-e ^ y-sec (xy)?

Zacznij od -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - s (xy) Zastąpmy sieczkę cosinusem. -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) Teraz bierzemy pochodną wrt x na BOTH SIDES! d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) Pochodna stałej wynosi zero, a pochodna jest liniowa! 0 = d / dx (xy ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) Teraz za pomocą reguły produktu tylko na pierwszym mamy dwa terminy! 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y ) -d / dx (1 / cos (xy)) Następne mnóstwo i dużo zabawy z regułą łańcucha! Obejrzyj ostatni termin

Jak niejawnie odróżnić y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Użyj reguł produktu i ilorazów i wykonaj dużo żmudnej algebry, aby uzyskać dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4). Zaczniemy od lewej strony: y ^ 2 / x Aby wziąć pochodną tego, musimy użyć reguły ilorazu: d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 Mamy u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx i v = x-> v' = 1, więc: d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 Teraz dla prawej strony: x ^ 3-3yx ^ 2 Możemy użyć reguły sumy i mnożenia stałej reguły, aby podzielić ją na: d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) Druga z nich będzie wymagać regu

Jak niejawnie odróżnić 2 = e ^ (xy) -cosy + xy ^ 3?

(dy) / dx = - (ye ^ (xy) + y ^ 3) / (xe ^ (xy) + siny + 3xy ^ 2) (d (2)) / dx = (d (e ^ (xy) - przytulny + xy ^ 3)) / dx 0 = (d (e ^ (xy))) / dx- (d (przytulny)) / dx + (d (xy ^ 3)) / dx 0 = (d (xy)) / dx * e ^ (xy) - ((dy) / dx) (- siny) + ((dx) / dx * y ^ 3) + x (d (y ^ 3)) / dx 0 = (y + x * (dy) / dx) * e ^ (xy) + ((dy) / dx * siny) + y ^ 3 + 3xy ^ 2 * (dy) / dx 0 = ye ^ (xy) + xe ^ (xy) (dy) / dx + (dy) / dx * siny + y ^ 3 + 3xy ^ 2 * (dy) / dx Zbieranie wszystkich podobnych monomii, w tym (dy) / dx: 0 = xe ^ (xy) * (dy) / dx + (dy) / dx * siny + 3xy ^ 2 * (dy) / dx + ye ^ (xy) + y ^ 3 0 = (dy) / dx * (xe ^ (xy) + siny