Jak niejawnie odróżnić y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Odpowiedź:

Użyj reguł produktu i ilorazów i zrób dużo żmudnej algebry # dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Wyjaśnienie:

Zaczniemy od lewej strony:

# y ^ 2 / x #

Aby przyjąć pochodną tego, musimy użyć reguły ilorazu:

# d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

Mamy # u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # i # v = x-> v '= 1 #, więc:

# d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Teraz po prawej stronie:

# x ^ 3-3yx ^ 2 #

Możemy użyć reguły sumy i mnożenia stałej reguły, aby podzielić to na:

# d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) #

Druga z nich będzie wymagać reguły produktu:

# d / dx (uv) = u'v + uv '#

Z # u = y-> u '= dy / dx # i # v = x ^ 2-> v '= 2x #. Więc:

# d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Nasz problem brzmi teraz:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Możemy dodać # x ^ 2dy / dx # po obu stronach i wył # dy / dx # aby go wyizolować:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Mam nadzieję, że lubisz algebrę, ponieważ jest to jedno nieprzyjemne równanie, które należy uprościć:

# dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #

Jak niejawnie odróżnić 2x / y = ysqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -x?

Dy / dx = - (yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1 / 2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) W porządku, to jest bardzo długi. Zliczę każdy krok, aby to ułatwić, a także nie połączyłem kroków, żebyś wiedział, co się dzieje. Zacznij od: 2xy ^ -1 = y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) -x Najpierw bierzemy d / dx każdego terminu: 2. d / dx [2xy ^ -1] = d / dx [y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 3. d / dx [2x] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + yd / dx [(x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 4. 2y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + (y (x

Jak niejawnie odróżnić -1 = xy ^ 2 + x ^ 2y-e ^ y-sec (xy)?

Zacznij od -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - s (xy) Zastąpmy sieczkę cosinusem. -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) Teraz bierzemy pochodną wrt x na BOTH SIDES! d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) Pochodna stałej wynosi zero, a pochodna jest liniowa! 0 = d / dx (xy ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) Teraz za pomocą reguły produktu tylko na pierwszym mamy dwa terminy! 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y ) -d / dx (1 / cos (xy)) Następne mnóstwo i dużo zabawy z regułą łańcucha! Obejrzyj ostatni termin

Jak niejawnie odróżnić 2 = e ^ (xy) -cosy + xy ^ 3?

(dy) / dx = - (ye ^ (xy) + y ^ 3) / (xe ^ (xy) + siny + 3xy ^ 2) (d (2)) / dx = (d (e ^ (xy) - przytulny + xy ^ 3)) / dx 0 = (d (e ^ (xy))) / dx- (d (przytulny)) / dx + (d (xy ^ 3)) / dx 0 = (d (xy)) / dx * e ^ (xy) - ((dy) / dx) (- siny) + ((dx) / dx * y ^ 3) + x (d (y ^ 3)) / dx 0 = (y + x * (dy) / dx) * e ^ (xy) + ((dy) / dx * siny) + y ^ 3 + 3xy ^ 2 * (dy) / dx 0 = ye ^ (xy) + xe ^ (xy) (dy) / dx + (dy) / dx * siny + y ^ 3 + 3xy ^ 2 * (dy) / dx Zbieranie wszystkich podobnych monomii, w tym (dy) / dx: 0 = xe ^ (xy) * (dy) / dx + (dy) / dx * siny + 3xy ^ 2 * (dy) / dx + ye ^ (xy) + y ^ 3 0 = (dy) / dx * (xe ^ (xy) + siny