Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = (1-x ^ 3) / (x ^ 2-3x) przy x = 4?

Odpowiedź:

# y = (123/16) x-46 #

Wyjaśnienie:

Nachylenie linii stycznej przy x = 4 wynosi #f '(4) #

znajdźmy #f '(x) #

#f (x) # jest w formie # u / v # następnie

#f '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 #

pozwolić # u = 1-x ^ 3 # i # v = x ^ 2-3x #

Więc, #u '= - 3x ^ 2 #

# v '= 2x-3 #

następnie

#f '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 #

#f '(x) = (((- 3x ^ 2) (x ^ 2-3x)) - ((2x-3) (1-x ^ 3))) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

#f '(x) = (- 3x ^ 4 + 9x ^ 3-2x + 2x ^ 4 + 3-3x ^ 3) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

#f '(x) = (- x ^ 4 + 6x ^ 3-2x + 3) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

Aby znaleźć nachylenie linii stycznej przy x = 4, musimy obliczyć f '(4)

Oceniliśmy f '(x), więc zamieńmy x na 4

#f '(4) = (- 4 ^ 4 + 6 * 4 ^ 3-2 * 4 + 3) / (4 ^ 2-3 * 4) ^ 2 #

#f '(4) = (- 256 + 384-8 + 3) / (16-12) ^ 2 #

#f '(4) = 123/16 #

Nachylenie tej stycznej wynosi 123/16

Mający # x = 4 # znajdźmy # y #

# y = (1-4 ^ 3) / (4 ^ 2-3 * 4) #

# y = -63 / 4 #

Równanie linii stycznej to:

#y - (- 63/4) = 123/16 (x-4) #

# y + 63/4 = (123/16) x-123 * 4/16 #

# y + 63/4 = (123/16) x-123/4 #

# y = (123/16) x-123 / 4-63 / 4 #

# y = (123/16) x- (123 + 63) / 4 #

# y = (123/16) x-184/4 #

# y = (123/16) x-46 #