Udowodnij, że elementem domeny integralnej jest jednostka, która generuje domenę.

Udowodnij, że elementem domeny integralnej jest jednostka, która generuje domenę.
Anonim

Odpowiedź:

Twierdzenie jest fałszywe.

Wyjaśnienie:

Rozważmy pierścień liczb w formie:

# a + bsqrt (2) #

gdzie #a, bw QQ #

Jest to pierścień przemienny z tożsamością multiplikatywną #1 != 0# i nie ma dzielników zerowych. Oznacza to, że jest to integralna domena. W rzeczywistości jest to również pole, ponieważ każdy niezerowy element ma multiplikatywny odwrotność.

Mnożnikowa odwrotność niezerowego elementu formularza:

# a + bsqrt (2) „” # jest # "" a / (a ^ 2-2b ^ 2) -b / (a ^ 2-2b ^ 2) sqrt (2) #.

Wówczas każda niezerowa liczba wymierna jest jednostką, ale nie generuje całego pierścienia, ponieważ generowany przez nią podzbiór będzie zawierał tylko liczby wymierne.