Jakie jest nachylenie linii stycznej xy ^ 2- (1-xy) ^ 2 = C, gdzie C jest dowolną stałą, w (1, -1)?

Odpowiedź:

# dy / dx = -1.5 #

Wyjaśnienie:

Najpierw znajdujemy # d / dx # każdego terminu.

# d / dx xy ^ 2 -d / dx (1-xy) ^ 2 = d / dx C #

# d / dx x y ^ 2 + d / dx y ^ 2 x-2 (1-xy) d / dx 1-xy = 0 #

# y ^ 2 + d / dx y ^ 2 x-2 (1-xy) (d / dx 1 -d / dx xy) = 0 #

# y ^ 2 + d / dx y ^ 2 x-2 (1-xy) (- d / dx x y + d / dx y x) = 0 #

# y ^ 2 + d / dx y ^ 2 x-2 (1-xy) (- y + d / dx y x) = 0 #

Zasada łańcucha mówi nam:

# d / dx = d / dy * dy / dx #

# y ^ 2 + dy / dx d / dy y ^ 2 x-2 (1-xy) (- y + dy / dxd / dy y x) = 0 #

# y ^ 2 + dy / dx 2yx-2 (1-xy) (- y + dy / dx x) = 0 #

# dy / dx 2yx-2 (1-x) dy / dx x = -y ^ 2-2y (1-xy) #

# dy / dx (2yx-2x (1-x)) = - y ^ 2-2y (1-xy) #x

# dy / dx = - (y ^ 2 + 2y (1-xy)) / (2yx-2x (1-x)) #

Dla #(1,-1)#

# dy / dx = - ((- 1) ^ 2 + 2 (-1) (1-1 (-1))) / (2 (1) (- 1) -2 (1) (1-1)) = -1,5 #

Niech h (x) = e ^ (- x) + kx, gdzie k jest dowolną stałą. Dla jakiej wartości k ma h punkty krytyczne?

Ma krytyczne punkty tylko dla k> 0 Najpierw obliczmy pierwszą pochodną h (x). h ^ (prime) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k Teraz, aby x_0 był punktem krytycznym h, musi przestrzegać warunku h ^ (prime) (x_0) = 0 lub: h ^ (prime) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) Logarytm naturalny k jest tylko zdefiniowane dla k> 0, więc h (x) ma tylko punkty krytyczne dla wartości k> 0.

Z jakim wykładnikiem moc dowolnej liczby staje się 0? Jak wiemy, że (dowolna liczba) ^ 0 = 1, więc jaka będzie wartość x in (dowolna liczba) ^ x = 0?

Zobacz poniżej Niech z będzie liczbą zespoloną ze strukturą z = rho e ^ {i phi} z rho> 0, rho w RR i phi = arg (z) możemy zadać to pytanie. Dla jakich wartości nw RR występuje z ^ n = 0? Rozwijanie trochę więcej z ^ n = rho ^ ne ^ {w phi} = 0-> e ^ {in phi} = 0, ponieważ przez hipotezę rho> 0. Więc używając tożsamości Moivre'a e ^ {in phi} = cos (n phi ) + i grzech (n phi) następnie z ^ n = 0-> cos (n phi) + i grzech (n phi) = 0-> n phi = pi + 2k pi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots Wreszcie, dla n = (pi + 2k pi) / phi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots otrzymujemy z ^ n = 0

Jakie jest nachylenie linii stycznej 3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y = C, gdzie C jest dowolną stałą, w (2,5)?

Dy / dx = -20 / 21 Musisz znać podstawy niejawnego rozróżnienia dla tego problemu. Wiemy, że nachylenie linii stycznej w punkcie jest pochodną; więc pierwszym krokiem będzie przyjęcie pochodnej. Zróbmy to kawałek po kawałku, zaczynając od: d / dx (3y ^ 2) Ten nie jest zbyt trudny; wystarczy zastosować regułę łańcucha i regułę mocy: d / dx (3y ^ 2) -> 2 * 3 * y * dy / dx = 6ydy / dx Teraz na 4xy. Będziemy potrzebować reguł mocy, łańcucha i produktu: d / dx (4xy) -> 4d / dx (xy) = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> Reguła produktu: d / dx (uv) = u'v + uv '= 4 (y + xdy / dx) = 4y + 4xdy / dx W porzą