Jak znaleźć sumę nieskończonej serii geometrycznej 10 (2/3) ^ n, gdy n = 2?

Odpowiedź:

Odpowiedź też jest #40/9# lub #40/3# w zależności od znaczenia pytania.

Wyjaśnienie:

Więc jeśli #n = 2 # wtedy nie jest suma, odpowiedź brzmi tak:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Być może jednak pytanie miało na celu zażądanie, aby nieskończona suma zaczęła się od # n = 2 # takie równanie jest:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

W tym przypadku obliczalibyśmy to, zauważając najpierw, że każda seria geometryczna może być postrzegana jako mająca postać:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

W tym przypadku nasza seria ma #a = 10 # i #r = 2/3 #.

Zauważymy również, że:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) R ^ infty ^ n #

Więc może po prostu obliczyć sumę szeregu geometrycznego # (2/3) ^ n # a następnie pomnóż tę sumę przez #10# dotrzeć do naszego wyniku. To ułatwia sprawę.

Mamy również równanie:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

To pozwala nam obliczyć sumę rozruchu z serii # n = 0 #. Ale chcemy to obliczyć # n = 2 #. Aby to zrobić, po prostu odjąć # n = 0 # i # n = 1 # warunki od pełnej kwoty. Pisząc pierwsze kilka warunków sumy, widzimy, że wygląda to tak:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Widzimy to:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#

U_1, u_2, u_3, ... są w progresji geometrycznej (GP). Wspólnym stosunkiem terminów w serii jest K. Teraz określ sumę serii u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) w postaci K i u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Ogólny termin postępu geometrycznego można zapisać: a_k = ar ^ (k-1) gdzie a jest początkowym wyrażeniem i r wspólnym współczynnikiem. Suma do n jest określona wzorem: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) kolor (biały) () Z informacjami podanymi w pytaniu ogólna formuła dla u_k może być napisane: u_k = u_1 K ^ (k-1) Zauważ, że: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Więc: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) kolor (biały) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k +1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) *

Jak znaleźć sumę nieskończonej serii 1/2 + 1 + 2 + 4 + ...?

Po pierwsze, nie wstrzymuj oddechu podczas liczenia NIESKOŃCZONEGO zestawu liczb! Ta nieskończona suma geometryczna ma pierwszy termin 1/2 i wspólny stosunek 2. Oznacza to, że każdy kolejny termin jest podwajany, aby uzyskać następny termin. Dodanie pierwszych kilku terminów można zrobić w głowie! (być może!) 1/2 + 1 = 3/2 i 1/2 + 1 + 2 = 31/2 Teraz jest formuła, która pomoże ci wymyślić „limit” sumy terminów .... ale tylko jeśli stosunek jest niezerowy. Oczywiście, czy widzisz, że dodawanie coraz większych terminów spowoduje, że suma będzie coraz większa! Wytyczna jest następująca: if | r | > 1

Jak znaleźć sumę nieskończonej serii geometrycznej 4 + 0,4 + 0,04 + ....?

Suma = 40/9 a_2 / a_1 = 0,4 / 4 = 4/40 = 1/10 a_3 / a_2 = 0,04 / 0,4 = 4/40 = 1/10 oznacza r = 1/10 i a_1 = 4 Suma nieskończonych serii geometrycznych jest sumą = S = a_1 / (1-r) = 4 / (1-1 / 10) = 40 / (10-1) = 40/9 oznacza sumę = 40/9