Jaka jest pochodna tej funkcji y = sec ^ -1 (e ^ (2x))?

Odpowiedź:

# (2) / (sqrt (e ^ (4x) -1) #

Wyjaśnienie:

Jak gdyby # y = sec ^ -1x # pochodna jest równa # 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

więc używając tej formuły i jeśli # y = e ^ (2x) # wtedy pochodna jest # 2e ^ (2x) # więc używając tej relacji w formule otrzymujemy wymaganą odpowiedź. tak jak # e ^ (2x) # jest funkcją inną niż # x # dlatego potrzebujemy dalszych pochodnych # e ^ (2x) #

Odpowiedź:

# 2 / (sqrt (e ^ (4x) -1)) #

Wyjaśnienie:

Mamy # d / dxsec ^ -1 (e ^ (2x)) #.

Możemy zastosować regułę łańcucha, która określa tę funkcję #f (u) #, jego pochodną jest # (df) / (du) * (du) / dx #.

Tutaj, # f = sec ^ -1 (u) #, i # u = e ^ (2x) #.

# d / dxsec ^ -1 (u) = 1 / (sqrt (u ^ 2) sqrt (u ^ 2-1)) #. Jest to wspólna pochodna.

# d / dxe ^ (2x) #. Znowu zasada łańcucha # f = e ^ u # i # x = 2x #. Pochodna # e ^ u # jest # e ^ u #i pochodna # 2x # jest #2#.

Ale tu, # u = 2x #i tak w końcu mamy # 2e ^ (2x) #.

Więc # d / dxe ^ (2x) = 2e ^ (2x) #.

Teraz mamy:

# (2e ^ (2x)) / (sqrt (u ^ 2) sqrt (u ^ 2-1)) #, lecz odkąd # u = e ^ (2x) #, mamy:

# (2e ^ (2x)) / (sqrt ((e ^ (2x)) ^ 2) sqrt ((e ^ (2x)) ^ 2-1)) #

# (2e ^ (2x)) / (e ^ (2x) sqrt ((e ^ (4x)) - 1)) #

# 2 / (sqrt (e ^ (4x) -1)) #, nasza pochodna.