To jest trygonometryczny dowód uogólnionego przypadku, pytanie jest w polu szczegółów?

Odpowiedź:

Dowód przez indukcję jest poniżej.

Wyjaśnienie:

Udowodnijmy tę tożsamość przez indukcję.

A. Do # n = 1 # musimy to sprawdzić

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Rzeczywiście, używając tożsamości #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, widzimy to

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

z tego wynika

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Więc dla # n = 1 # nasza tożsamość jest prawdziwa.

B. Załóż, że tożsamość jest prawdziwa # n #

Zakładamy to

# (2 cos (2 ^ ntheta) +1) / (2 cos (theta) +1) = Pi _ (j w 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(symbol #Liczba Pi# jest używany do produktu)

C. Używając powyższego założenia B, udowodnijmy tożsamość dla # n + 1 #

Musimy udowodnić, że z założenia B wynika

# (2 cos (2 ^ (n + 1) teta) +1) / (2 cos (teta) +1) = Pi _ (j w 0, n) 2 cos (2 ^ jtheta) -1 #

(zauważ, że prawa granica indeksu mnożenia wynosi # n # teraz).

DOWÓD

Korzystanie z tożsamości #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # dla # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2 cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Podziel początkowe i końcowe wyrażenia przez # 2cos (theta) +1 #, dostawanie

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Teraz korzystamy z założenia B

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j w 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j w 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Zauważ, że zakres indeksu jest teraz rozszerzony na # n #).

Ostatnia formuła jest dokładnie taka sama # n + 1 # jak oryginał # n #. To dopełnia dowód przez indukcję, że nasza formuła jest prawdziwa dla każdego # n #.

Odpowiedź:

Zobacz dowód w sekcji Wyjaśnienie poniżej.

Wyjaśnienie:

To jest równoważne, aby to udowodnić, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Ciesz się matematyką!