Udowodnij wektorowo, że przekątne rombu przecinają się nawzajem prostopadle?

Pozwolić # ABCD # być rombem. Oznacza to # AB = BC = CD = DA #. Jak romb jest równoległobokiem. Według właściwości równoległoboku jego przekątnej # DBandAC # będzie przecinać się nawzajem w punkcie przecięcia #MI#

Teraz jeśli boki # DAandDC # należy uważać za dwa wektory działające na D, a diagonalna DB będzie reprezentować wypadkową.

Więc #vec (DB) = vec (DA) + vec (DC) #

podobnie

#vec (CA) = vec (CB) -vec (AB) = vec (DA) -vec (DC) #

Więc

#vec (DB) * vec (CA) = vec (DA) * vec (DA) -vec (DC) * vec (DC) #

# = absvec (DA) ^ 2-absvec (DC) ^ 2 = 0 #

Od # DA = DC #

Stąd przekątne są do siebie prostopadłe.

Współrzędne rombu podano jako (2a, 0) (0, 2b), (-2a, 0) i (0.-2b). Jak napisać plan, aby udowodnić, że punkty środkowe boków rombu wyznaczają prostokąt przy użyciu geometrii współrzędnych?

Patrz poniżej. Niech punkty rombu to A (2a, 0), B (0, 2b), C (-2a, 0) i D (0.-2b). Niech punkty środkowe AB be P i ich współrzędne to ((2a + 0) / 2, (0 + 2b) / 2), tj. (A, b). Podobnie punkt środkowy BC to Q (-a, b); środek CD to R (-a, -b), a środek DA to S (a, -b). Oczywiste jest, że podczas gdy P leży w Q1 (pierwszy kwadrant), Q leży w Q2, R leży w Q3, a S leży w Q4. Ponadto, P i Q są odbiciami od siebie w osi y, Q i R są odbiciami od siebie w osi x, R i S są odbiciami od siebie w osi y, a S i P są odbiciem siebie w oś x. Stąd PQRS lub punkty środkowe boków rombu ABCD tworzą prostokąt.

Udowodnij, że krzywe x = y ^ 2 i xy = k przecinają się pod kątem prostym, jeśli 8k ^ 2 = 1?

-1 8k ^ 2 = 1 k ^ 2 = 1/8 k = sqrt (1/8) x = y ^ 2, xy = sqrt (1/8) dwie krzywe to x = y ^ 2 i x = sqrt ( 1/8) / y lub x = sqrt (1/8) y ^ -1 dla krzywej x = y ^ 2, pochodna względem y wynosi 2y. dla krzywej x = sqrt (1/8) y ^ -1, pochodna względem y to -sqrt (1/8) y ^ -2. punkt, w którym spotykają się dwie krzywe, to gdy y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y. y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y. y ^ 3 = sqrt (1/8) y = sqrt (1/2) od x = y ^ 2, x = 1/2 punkt, w którym spotykają się krzywe (1/2, sqrt (1/2)) kiedy y = sqrt (1/2), 2y = 2sqrt (1/2). gradient stycznej do krzywej x = y ^ 2 wynosi 2sqrt (1/2) lub 2 / (sqrt2). kiedy y = sqrt (1/2

Udowodnij wektorowo, że mediana trójkąta równoramiennego jest prostopadła do podstawy.

W DeltaABC AB = AC i D jest punktem środkowym BC. Tak więc wyrażając w wektorach mamy vec (AB) + vec (AC) = 2vec (AD), ponieważ AD jest połową przekątnej równoległoboku mającego sąsiednie boki ABandAC. Więc vec (AD) = 1/2 (vec (AB) + vec (AC)) Teraz vec (CB) = vec (AB) -vec (AC) So vec (AD) * vec (CB) = 1/2 ( vec (AB) + vec (AC)) * (vec (AB) -vec (AC)) = 1/2 (vec (AB) * vec (AB) - vec (AB) * vec (AC) + vec (AC ) * vec (AB) + vec (AC) * vec (AC)) = 1/2 (absvec (AB) ^ 2-absvec (AC) ^ 2) = 1/2 (absvec (AB) ^ 2-absvec ( AB) ^ 2) = 0, ponieważ AB = AC Jeśli theta jest kątem między vec (AD) i vec (CB), to absvec (AD) absvec