Udowodnij, że krzywe x = y ^ 2 i xy = k przecinają się pod kątem prostym, jeśli 8k ^ 2 = 1?

Odpowiedź:

#-1#

Wyjaśnienie:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

obie krzywe są

#x = y ^ 2 #

i

#x = sqrt (1/8) / y lub x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

dla krzywej #x = y ^ 2 #, pochodna w odniesieniu do # y # jest # 2y #.

dla krzywej #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, pochodna w odniesieniu do # y # jest # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

punkt, w którym spotykają się dwie krzywe, to kiedy # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

od #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

punkt, w którym spotykają się krzywe # (1/2, sqrt (1/2)) #

gdy #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

gradient stycznej do krzywej #x = y ^ 2 # jest # 2sqrt (1/2) lub 2 / (sqrt2) #.

gdy #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

gradient stycznej do krzywej #xy = sqrt (1/8) # jest # -2sqrt (1/8) lub -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Szukamy warunku # k # takie, że krzywe # x = y ^ 2 # i # xy = k # „cięte pod kątem prostym”. Matematycznie oznacza to, że krzywe powinny być ortogonalne, co z kolei oznacza, że w ogóle wskazuje styczne do krzywych przy każdy dany punkt jest prostopadły.

Jeśli zbadamy rodzinę krzywych dla różnych wartości # k # dostajemy:

Od razu zauważamy, że szukamy pojedynczego punktu, w którym styczna jest prostopadła, więc ogólnie krzywe nie są prostopadłe we wszystkich punktach.

Najpierw znajdźmy pojedynczy koordynować, # P #, punktu przecięcia, który jest równoczesnym rozwiązaniem:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Zastępując równanie A na B otrzymujemy:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

I tak ustalamy współrzędną skrzyżowania:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Potrzebujemy również gradientów stycznych na tej współrzędnej. Dla pierwszej krzywej:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Więc gradient stycznej, # m_1 #, do pierwszej krzywej przy # P # jest:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Podobnie dla drugiej krzywej:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Więc gradient stycznej, # m_2 #, do drugiej krzywej przy # P # jest:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Jeśli te dwie styczne są prostopadłe, to wymagamy:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) -1 -1

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Prowadzący do danego wyniku:

# 8k ^ 2 = 1 CO BYŁO DO OKAZANIA

I z tą wartością # k #