Pokaż, że jeśli p, q, r, s są liczbą rzeczywistą, a pr = 2 (q + s), to co najmniej jedno z równań x ^ 2 + px + q = 0 i x ^ 2 + rx + s = 0 ma prawdziwe korzenie?

Odpowiedź:

Patrz poniżej.

Wyróżnikiem # x ^ 2 + px + q = 0 # jest # Delta_1 = p ^ 2-4q #

i to z # x ^ 2 + rx + s = 0 # jest # Delta_2 = r ^ 2-4s #

i # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # p ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

i jeśli # pr = 2 (q + s) #, mamy # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Ponieważ suma dwóch wyróżników jest dodatnia, przynajmniej jeden z nich byłby pozytywny

a zatem przynajmniej jedno z równań # x ^ 2 + px + q = 0 # i # x ^ 2 + rx + s = 0 # ma prawdziwe korzenie.