Jaka jest odległość między (0, 0, 8) i (9, 2, 0)?

Odpowiedź:

Odległość jest #sqrt (149) #

Wyjaśnienie:

Odległość między dwoma punktami

# (x_1, y_1, z_1) #

i

# (x_2, y_2, z_2) #

w # RR ^ 3 # (trzy wymiary) podaje

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Stosując go do problemu, uzyskujemy odległość między #(0, 0, 8)# i #(9, 2, 0)# tak jak

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Poniżej znajduje się wyjaśnienie, skąd pochodzi wzór odległości i nie jest konieczne do zrozumienia powyższego rozwiązania.

Podana powyżej formuła odległości wygląda podejrzanie podobnie do wzoru odległości w # RR ^ 2 # (dwa wymiary):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

co wynika z prostego zastosowania twierdzenia Pitagorasa, poprzez narysowanie trójkąta prostokątnego między dwoma punktami z nogami równoległymi do # x # i # y # osie.

Okazuje się, że # RR ^ 3 # wersję można wyprowadzić w podobny sposób. Jeśli użyjemy (najwyżej) 3 linii do połączenia dwóch punktów, równolegle do # x #, # y #, i # z # osie, otrzymujemy pudełko z punktami jako przeciwległymi rogami. Rozważmy więc, jak obliczyć odległość po przekątnej pudełka.

Próbujemy obliczyć długość czerwonej linii #color (czerwony) (AD) #

Jak to jest przeciwprostokątna trójkąta # ABD #, z twierdzenia Pitagorasa:

# (kolor (czerwony) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (kolor (niebieski) (BC)) ^ 2 #

# => kolor (czerwony) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (kolor (niebieski) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Niestety nie mamy długości #color (niebieski) (BD) # jako dane. Aby to uzyskać, musimy ponownie zastosować twierdzenie Pitagorasa, tym razem do trójkąta # BCD #.

# (kolor (niebieski) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Ponieważ potrzebujemy tylko kwadratu #color (niebieski) (BD) #, możemy teraz zastąpić # ("ii") # w #("ja")#:

#color (czerwony) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Wreszcie, jeśli mamy #ZA# w # (x_1, y_1, z_1) # i #RE# w # (x_2, y_2, z_2) #, mamy długość

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Zastąpienie ich powyższym daje nam pożądany rezultat.

Jako dodatkową uwagę, chociaż możemy z łatwością wykonywać dowody geometryczne w maksymalnie 3 wymiarach, matematycy mają uogólnioną odległość w # RR ^ n # (# n # wymiary). Odległość między

# (x_1, x_2, …, x_n) # i # (y_1, y_2, …, y_n) # jest zdefiniowany jako

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

który pasuje do wzorca # RR ^ 2 # i # RR ^ 3 #.