Jaka jest forma wierzchołka y = (x + 4) (2x-1) (x-1)?

Odpowiedź:

Coś jak:

#f (x) = 2 (x + 5/6) x ^ 3 - 91/6 (x + 5/6) + 418/27 #

Wyjaśnienie:

Podany wielomian jest sześcienny, a nie kwadratowy. Nie możemy go zredukować do „formy wierzchołka”.

Interesujące jest znalezienie podobnej koncepcji dla kubików.

Dla kwadratów uzupełniamy kwadrat, znajdując w ten sposób środek symetrii paraboli.

Dla sześciennych możemy wykonać podstawienie liniowe „uzupełnianie sześcianu”, aby znaleźć środek krzywej sześciennej.

# 108 f (x) = 108 (x + 4) (2x-1) (x-1) #

#color (biały) (108f (x)) = 108 (2x ^ 3 + 5x ^ 2-11x + 4) #

#color (biały) (108f (x)) = 216x ^ 3 + 540x ^ 2-1188x + 432 #

#color (biały) (108f (x)) = (6x) ^ 3 + 3 (6x) ^ 2 (5) +3 (6x) (5) ^ 2 + (5) ^ 3 -273 (6x) -273 (5) + 1672 #

#color (biały) (108f (x)) = (6x + 5) ^ 3-273 (6x + 5) + 1672 #

Więc:

#f (x) = 1/108 (6x + 5) ^ 3 - 91/36 (6x + 5) + 418/27 #

#color (biały) (f (x)) = 2 (x + 5/6) ^ 3 - 91/6 (x + 5/6) + 418/27 #

Z tego możemy odczytać, że środek symetrii sześciennej jest na #(-5/6, 418/27)# i mnożnik #2# mówi nam, że jest zasadniczo dwa razy bardziej stromy niż # x ^ 3 # (chociaż termin liniowy odejmuje stałą #91/6# ze stoku).

graph {(y- (x + 4) (2x-1) (x-1)) (40 (x + 5/6) ^ 2 + (y-418/27) ^ 2-0.2) = 0 -6,13, 3,87, -5, 40}

Tak więc na ogół możemy użyć tej metody, aby uzyskać funkcję sześcienną w postaci:

#y = a (x-h) ^ 3 + m (x-h) + k #

gdzie #za# jest mnożnikiem wskazującym stromość sześciennej w porównaniu z # x ^ 3 #, # m # jest nachyleniem w punkcie środkowym i # (h, k) # jest punktem centralnym.