Jak znaleźć granicę (ln x) ^ (1 / x), gdy x zbliża się do nieskończoności?

Odpowiedź:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Wyjaśnienie:

Zaczynamy od dość powszechnej sztuczki, gdy mamy do czynienia ze zmiennymi wykładnikami. Możemy wziąć naturalny zapis czegoś, a następnie podnieść go jako wykładnik funkcji wykładniczej, nie zmieniając jego wartości, ponieważ są to operacje odwrotne - ale pozwala nam to na korzystniejsze wykorzystanie reguł dzienników.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Korzystanie z reguły wykładników dzienników:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Zauważ, że jest to wykładnik, który zmienia się w zależności od # xrarroo # abyśmy mogli skupić się na nim i przesunąć funkcję wykładniczą na zewnątrz:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Jeśli spojrzysz na zachowanie funkcji logu naturalnego, zauważysz, że gdy x dąży do nieskończoności, wartość funkcji zmierza również do nieskończoności, aczkolwiek bardzo powoli. Kiedy bierzemy #ln (ln (x)) # mamy zmienną wewnątrz funkcji dziennika, która ma tendencję do nieskończoności bardzo powoli, co oznacza, że mamy ogólną funkcję, która ma tendencję do nieskończoności BARDZO powoli. Poniższy wykres sięga tylko do # x = 1000 # ale pokazuje niezwykle powolny wzrost #ln (ln (x)) # nawet w porównaniu z powolnym wzrostem #ln (x) #.

Z tego zachowania możemy wywnioskować # x # będzie wykazywać znacznie szybszy wzrost asymptotyczny, a zatem granica wykładnika będzie wynosić zero. #color (niebieski) („Oznacza to, że ogólny limit = 1.”) #

Możemy również zająć się tym punktem z zasadą L'hopital. Potrzebujemy limitu w postaci nieokreślonej, tj # 0/0 lub oo / oo # więc sprawdzamy, że tak jest:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Tak jest w rzeczywistości, więc limit staje się:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Aby odróżnić #y = ln (ln (x)) # rozpoznać, że mamy #y (u (x)) # i użyj reguły łańcucha

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) oznacza (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) oznacza (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Pochodna # x # jest #1#. Limit staje się:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Zajęliśmy się, że obie funkcje w mianowniku mają nieskończoność, więc mamy

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #