Jak znaleźć limit xtan (1 / (x-1)), gdy x zbliża się do nieskończoności?

Jak znaleźć limit xtan (1 / (x-1)), gdy x zbliża się do nieskończoności?
Anonim

Odpowiedź:

Limit to 1. Mam nadzieję, że ktoś tutaj może wypełnić puste pola w mojej odpowiedzi.

Wyjaśnienie:

Jedynym sposobem, aby to rozwiązać, jest rozszerzenie stycznej za pomocą szeregu Laurenta przy # x = oo #. Niestety nie zrobiłem jeszcze zbyt wielu skomplikowanych analiz, więc nie mogę przeprowadzić Cię przez to, jak dokładnie to się robi, ale używając Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+tan (1% 2F (x-1)) Otrzymałem to

#tan (1 / (x-1)) # rozszerzony na #x = oo # jest równe:

# 1 / x + 1 / x ^ 2 + 4 / (3x ^ 3) + 2 / (x ^ 4) + 47 / (15x ^ 5) + O (((1) / (x)) ^ 6) #

Mnożenie przez x daje:

# 1 + 1 / x + 4 / (3x ^ 2) + 2 / (x ^ 3) + … #

Tak więc, ponieważ wszystkie terminy poza pierwszym mają x na mianowniku i stałe na liczniku

#lim_ (xrarroo) (1 + 1 / x + 4 / (3x ^ 2) + 2 / (x ^ 3) + …) = 1 #

ponieważ wszystkie terminy po pierwszym będą miały zero.