Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe / fałszywe? (i) R² ma nieskończenie wiele niezerowych, właściwych podprzestrzeni wektorowych. (ii) Każdy układ jednorodnych równań liniowych ma rozwiązanie niezerowe.

Odpowiedź:

# #

# "(i) Prawda." #

# ”(ii) Fałsz.” #

Wyjaśnienie:

# #

# „Dowody”. #

# "(i) Możemy skonstruować taki zestaw podprzestrzeni:" #

# "1)" wszystkie r w RR, "niech:" quad quad V_r = (x, r x) w RR ^ 2. #

# "Geometrycznie," V_r "jest linią przechodzącą przez początek" R ^ 2, "nachylenia" r. #

# "2) Sprawdzimy, czy te podprzestrzenie uzasadniają stwierdzenie (i)." #

# "3) Wyraźnie:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Sprawdź, czy:" quad quad V_r "jest właściwą podprzestrzenią" R ^ 2. #

# "Niech:" quad u, v w V_r, alfa, beta w RR. qquad quad quad quad "Sprawdź, czy:" quad alfa u + beta v w V_r. #

# u, v w V_r Arr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); „dla niektórych” x_1, x_2 w RR #

# quad quad quad:. quad quad alfa u + v v alfa (x_1, r x_1) + b (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alfa (x_1, r x_1) + b (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alfa x_1, alfa r x_1) + (beta x_2, r r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alfa x_1 + beta x_2, alfa r x_1 + r r x_2) #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad = (alfa x_1 + beta x_2, r (alfa x_1 + beta x_2)) #

# quad quad quad quad quad quad quad = (x_3, r x_3) w V_r; quad „with” x_3 = alfa x_1 + beta x_2. #

# "So:" qquad quad qquadu, v v_r, alfa, beta w RR quad rArr quad alfa u + vb v w V_r. #

# "Zatem:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "jest podprzestrzenią" RR ^ 2. #

# „Aby to zobaczyć” V_r „jest niezerowe, zauważ, że:” #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) w V_r, "and" (1, r) ne (0, 0).

# „Aby to zobaczyć” V_r „jest właściwe”, „zauważ, że” (1, r + 1)! W V_r: #

# (1, r + 1) w V_r rArr "(przez konstrukcję" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rrr r = r + 1, „wyraźnie niemożliwe”. #

# "Zatem:" qquad quad quad V_r "jest niezerową, właściwą podprzestrzenią" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Teraz pokaż, że istnieje nieskończenie wiele takich podprzestrzeni" V_r. #

# "Niech:" quad quad r, s w RR. quad quad quad quad "Pokażemy:" quad r ne s Arr V_r ne V_s. #

# "Z definicji:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) w V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) w V_s. #

# "Wyraźnie:" quad quad quad quad quad quad s s rrr (1, r) ne (1, s). #

# "Tak:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rRrr V_r ne V_s. #

# „Więc każdy” r w RR „tworzy odrębną podprzestrzeń” V_r. #

# „Wraz z (1) podaje:„ #

# "Rodzina podprzestrzeni:" rw RR, "jest nieskończoną rodziną" #

# "niezerowych, właściwych podprzestrzeni" R ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# ”(ii) To jest naprawdę łatwe. Jeśli system jest kwadratowy, a„ #

# "macierz współczynników systemu w odwracalnym stanie, będzie tylko" #

# „rozwiązanie zerowe”. #

# "Załóżmy:" quad quad quad A "jest kwadratową, odwracalną macierzą." #

# „Rozważ system jednorodny:” #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# „Tak więc, jak„ A ”jest odwracalny:„ #

# quad quad quad quad quad quad quad quad ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# quad quad quad quad:. quad quad quad quad I x = 0. #

# quad quad quad quad:. quad quad quad quad qu = 0. #

# „Tak więc system homogeniczny” A x = 0, „nie ma” #

# „rozwiązanie niezerowe”. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad kwadrat #