Bez grafowania, w jaki sposób decydujesz, czy następujący układ równań liniowych ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub brak rozwiązania?

Odpowiedź:

System # N # równania liniowe z # N # nieznane zmienne, które nie zawierają liniowej zależności między równaniami (innymi słowy, jej wyznacznik jest niezerowe) będzie miało jedno i tylko jedno rozwiązanie.

Wyjaśnienie:

Rozważmy układ dwóch równań liniowych z dwiema nieznanymi zmiennymi:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Jeśli para # (A, B) # nie jest proporcjonalny do pary # (D, E) # (czyli nie ma takiej liczby # k # że # D = kA # i # E = kB #, które mogą być sprawdzone przez warunek # A * E-B * D! = 0 #) jest jedno i tylko jedno rozwiązanie:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Przykład:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Rozwiązanie:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Jeśli para # (A, B) # jest proporcjonalny do pary # (D, E) # (co oznacza, że istnieje taki numer # k # że # D = kA # i # E = kB #, które można sprawdzić pod warunkiem # A * E-B * D = 0 #), są dwa przypadki:

(a) nieskończona liczba rozwiązań, jeśli #DO# i #FA# są proporcjonalne z takim samym współczynnikiem jak #ZA# i #RE#, to jest # F = kC #, gdzie # k # jest tym samym współczynnikiem proporcjonalności;

Przykład:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Tutaj # k = 2 # dla wszystkich par: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Drugie równanie jest trywialną konsekwencją pierwszego (wystarczy pomnożyć pierwsze równanie przez #2#) i dlatego nie dostarcza żadnych dodatkowych informacji o nieznanych, skutecznie zmniejszając liczbę równań do 1.

(b) żadnych rozwiązań, jeśli #F! = KC #

Przykład:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

W tym przypadku równania są ze sobą sprzeczne, ponieważ mnożąc pierwsze przez 2, otrzymujemy równanie # 2x + 8y = 6 #, które nie mogą mieć wspólnego rozwiązania # 2x + 8y = 5 # ponieważ lewe części tych dwóch równań są równe, ale właściwe części nie są.

Które wykresy poniżej przedstawiają układ równań liniowych bez rozwiązania? Wybierz wszystkie, które mają zastosowanie.

Wykres 2 w pierwszym łączu i wykres 1 w drugim łączu. Systemy, które nie mają żadnych rozwiązań, nie mają przecięcia na wykresie. Dlatego wykresy pokazujące dwie równoległe linie nie mają przecięcia. Pokazuje to wykres 2 z pierwszego łącza, podobnie jak wykres 1 z drugiego łącza.

Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe / fałszywe? (i) R² ma nieskończenie wiele niezerowych, właściwych podprzestrzeni wektorowych. (ii) Każdy układ jednorodnych równań liniowych ma rozwiązanie niezerowe.

„(i) Prawda.” „(ii) Fałsz.” „Dowody”. „(i) Możemy skonstruować taki zestaw podprzestrzeni:„ „1” ”wszystkie r w RR,„ niech: ”quad quad V_r = (x, r x) w RR ^ 2. „[Geometrycznie,„ V_r ”jest linią przechodzącą przez początek„ R ^ 2, „nachylenia” r.] „2) Sprawdzimy, czy te podprzestrzenie uzasadniają twierdzenie (i).” „3) Wyraźnie:” qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r sube RR ^ 2. „4) Sprawdź, czy:„ quad quad V_r ”jest właściwą podprzestrzenią„ RR ^ 2. „Niech:” quad u, v w V_r, alfa, beta w RR. qquad quad quad quad "Sprawdź, czy:" quad alfa u + beta v w V_r. u, v w V_r Arr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2);

X - y = 3 -2x + 2y = -6 Co można powiedzieć o systemie równań? Czy ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań, brak rozwiązania lub 2 rozwiązania.

Nieskończenie wiele Mamy dwa równania: E1: x-y = 3 E2: -2x + 2y = -6 Oto nasze wybory: Jeśli mogę sprawić, że E1 będzie dokładnie E2, mamy dwa wyrażenia tej samej linii, więc istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli mogę uczynić wyrażenia xiy w E1 i E2 tym samym, ale kończąc na różnych liczbach, są one równe, linie są równoległe i dlatego nie ma rozwiązań.Jeśli nie mogę tego zrobić, to mam dwie różne linie, które nie są równoległe, a więc gdzieś będzie punkt przecięcia. Nie ma możliwości, aby dwie proste linie miały dwa rozwiązania (weź dwie słomki i przekonaj się sam - chyba że zgią