Jaka jest minimalna wartość g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? w przedziale [-2,2]?

Odpowiedź:

Minimalna wartość to # x = 1-sqrt 5 approx "-" 1,236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) approx "-" 0,405 #.

Wyjaśnienie:

W przedziale zamkniętym możliwe lokalizacje dla minimum będą następujące:

• lokalne minimum w przedziale lub
• punkty końcowe interwału.

Dlatego obliczamy i porównujemy wartości dla #g (x) # w ogóle #x w "-2", 2 # sprawia, że #g '(x) = 0 #, jak również w #x = "- 2" # i # x = 2 #.

Po pierwsze: co to jest #g '(x) #? Korzystając z reguły ilorazu, otrzymujemy:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (biały) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (biały) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Będzie to równe zero, gdy licznik wynosi zero. Dzięki formule kwadratowej otrzymujemy

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 approx {"-1.236", 3.236} #

Tylko jeden z nich # x #-wartość jest w #'-2',2#, i to jest # x = 1-sqrt 5 #.

Teraz obliczamy:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0,375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (biały) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * kolor (niebieski) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (biały) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (biały) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) approx "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Porównanie tych trzech wartości #g (x) #, widzimy to #g (1-sqrt 5) # jest najmniejszy. Więc # - (1+ sqrt 5) / 8 # jest naszą minimalną wartością #g (x) # na #'-'2, 2#.