Jaka jest minimalna wartość g (x) = x / csc (pi * x) w przedziale [0,1]?

Odpowiedź:

Jest minimalna wartość #0# znajduje się zarówno w # x = 0 # i # x = 1 #.

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, możemy natychmiast napisać tę funkcję jako

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Przypominając to #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Teraz, aby znaleźć minimalne wartości w interwale, rozpoznaj, że mogą wystąpić albo w punktach końcowych przedziału, albo w dowolnych krytycznych wartościach, które występują w przedziale.

Aby znaleźć wartości krytyczne w przedziale, ustaw pochodną funkcji równą #0#.

Aby odróżnić tę funkcję, będziemy musieli użyć reguła produktu. Zastosowanie reguły produktu daje nam

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Każda z tych pochodnych daje:

# d / dx (x) = 1 #

I przez zasada łańcuchowa:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Łącząc je, widzimy to

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Zatem wartości krytyczne będą występować zawsze

#sin (pix) + pixos (pix) = 0 #

Nie możemy rozwiązać tego algebraicznie, więc użyj kalkulatora, aby znaleźć wszystkie zera tej funkcji w danym przedziale czasu #0,1#:

graph {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Dwie wartości krytyczne w przedziale są na # x = 0 # i # xapprox0.6485 #.

Wiemy więc, że minimalna wartość #g (x) # może wystąpić na #3# różne miejsca:

# x = 0 # lub # x = 1 #, punkty końcowe interwału
# x = 0 # lub # x = 0.6485 #, wartości krytyczne w przedziale

Teraz podłącz każdą z tych możliwych wartości do przedziału:

# {(g (0) = 0, kolor (czerwony) tekst (minimum)), (g (0,6485) = 0,5792, kolor (niebieski) tekst (maksimum)), (g (1) = 0, kolor (czerwony) tekst (minimum)):} #

Ponieważ są dwie wartości, które są jednakowo niskie, istnieją zarówno minimalne wartości w # x = 0 # i # x = 1 #. Zauważ, że mimo że przeszliśmy przez problem # x = 0.6485 #, to nie było nawet minimum.

Graphed jest #g (x) # w przerwie #0,1#:

graph {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Zauważ również, że minimalna wartość to #0#, od #g (0) = g (1) = 0 #. Różnica polega na tym # x = 0 # i # x = 1 # są lokalizacje minimów.

Średnia wartość funkcji v (x) = 4 / x2 w przedziale [[1, c] jest równa 1. Jaka jest wartość c?

C = 4 Średnia wartość: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Więc średnia wartość to (-4 / c + 4) / (c-1) Rozwiązywanie (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 daje nam c = 4.

Jaka jest minimalna wartość g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? w przedziale [-2,2]?

Minimalna wartość to x = 1-sqrt 5 approx "-" 1,236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) approx "-" 0,405. W przedziale zamkniętym możliwe lokalizacje dla minimum będą: lokalne minimum wewnątrz przedziału lub punkty końcowe przedziału. Dlatego obliczamy i porównujemy wartości dla g (x) w dowolnym x w ["-2", 2], co powoduje, że g '(x) = 0, jak również w x = "- 2" i x = 2. Po pierwsze: co to jest g (x)? Korzystając z reguły ilorazu, otrzymujemy: g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 kolor (biały) ( g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4

Jaka jest minimalna wartość g (x) = x ^ 2-2x - 11 / x? w przedziale [1,7]?

Funkcja stale wzrasta w przedziale [1,7], jej minimalna wartość wynosi x = 1. Oczywiste jest, że x ^ 2-2x-11 / x nie jest zdefiniowany w x = 0, jednak jest zdefiniowany w przedziale [1,7]. Teraz pochodna x ^ 2-2x-11 / x wynosi 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) lub 2x-2 + 11 / x ^ 2 i jest dodatnia w całym [1,7] Stąd funkcja jest stale wzrastając w przedziale [1,7] i jako taka minimalna wartość x ^ 2-2x-11 / x w przedziale [1,7] wynosi x = 1. wykres {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]}