Jaki jest limit, gdy x zbliża się do nieskończoności (1 + a / x) ^ (bx)?

Używając logarytmu i reguły l'Hopital, #lim_ {x do infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Korzystając z zamiany # t = a / x # lub równoważnie # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Używając właściwości logarytmicznych,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Zgodnie z regułą l'Hopital, #lim_ {t do 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t do 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Stąd, #lim_ {x do infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t do 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Uwaga: #t do 0 # tak jak #x na infty #)