Niech f: Wzrost zdefiniowany od R do R. znaleźć rozwiązanie f (x) = f ^ -1 (x)?

Odpowiedź:

# f (x) = x #

Wyjaśnienie:

Szukamy funkcji #f: RR rarr RR # takie rozwiązanie #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

To znaczy szukamy funkcji, która jest jej własną odwrotnością. Jedną z oczywistych takich funkcji jest trywialne rozwiązanie:

# f (x) = x #

Jednak bardziej dogłębna analiza problemu ma znaczną złożoność, co zostało zbadane przez Ng Wee Lenga i Ho Foo Him, opublikowane w czasopiśmie Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Odpowiedź:

Sprawdź poniżej.

Wyjaśnienie:

Punkty wspólne między # C_f # i #C_ (f ^ (- 1)) # jeśli istnieją, nie zawsze są w dwusiecznej # y = x #. Oto przykład takiej funkcji: #f (x) = 1-x ^ 2 # #color (biały) (a) #, # x ##w## 0, + oo) #

graph {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7,02, 7,03, -5,026, 1,994}

Są jednak tylko w dwusiecznej i tylko wtedy #fa# jest # # wzrastający.

Jeśli #fa# jest wtedy ściśle zwiększany #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Jeśli #fa# nie ściśle wzrasta wspólne punkty są znalezione przez rozwiązanie układu równań

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Odpowiedź:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

Wyjaśnienie:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (biały) (aa) #, # x ##w## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (biały) (aa) #, # AA ## x ##w## RR #

więc #fa# jest # # w # RR #. Jako funkcja ściśle monotonna jest również „#1-1#„i jako funkcja jeden do jednego ma odwrotność.

Musimy rozwiązać równanie #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #