Dwa rogi trójkąta równoramiennego znajdują się w (1, 6) i (2, 9). Jeśli powierzchnia trójkąta wynosi 36, jakie są długości boków trójkąta?

Odpowiedź:

#sqrt (10), sqrt (520.9), sqrt (520.9) ~ = 3.162,22.823,22.823 #

Wyjaśnienie:

Długość danej strony to

# s = sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-6) ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt (10) ~ = 3,162 #

Ze wzoru obszaru trójkąta:

# S = (b * h) / 2 # => # 36 = (sqrt (10) * h) / 2 # => # h = 72 / sqrt (10) ~ = 22.768 #

Ponieważ figurka jest trójkątem równoramiennym, możemy mieć Przypadek 1, gdzie podstawą jest strona pojedyncza, zilustrowana rysunkiem (a) poniżej

Albo moglibyśmy Przypadek 2, gdzie podstawa jest jednym z równych boków, zilustrowanym na Rys. (b) i (c) poniżej

W tym przypadku ma zastosowanie zawsze przypadek 1, ponieważ:

#tan (alpha / 2) = (a / 2) / h # => # h = (1/2) a / tan (alfa / 2) #

Ale jest taki warunek, że sprawa Case 2:

#sin (beta) = h / b # => # h = bsin beta #

Lub # h = bsin gamma #

Od najwyższej wartości #sin beta # lub #sin gamma # jest #1#, najwyższa wartość # h #, w przypadku 2, musi być #b#.

W obecnym problemie h jest dłuższa niż strona, do której jest prostopadła, więc w tym przypadku stosuje się tylko Przypadek 1.

Rozwiązanie uwzględniające Przypadek 1 (Rys. (A))

# b ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = (72 / sqrt (10)) ^ 2+ (sqrt (10) / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = 5184/10 + 10/4 = (5184 + 25) / 10 = 5209/10 # => # b = sqrt (520,9) ~ = 22,823 #