Pokaż, że równanie px ^ 2 + qx + r = 0 i qx ^ 2 + rx + p = 0 będzie miało wspólny pierwiastek, jeśli p + q + r = 0 lub p = q = r?

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie …

Jeśli # p = q = r # następnie:

# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #

Tak więc wszelkie zera, które mają, będą wspólne.

Pamiętaj, że te warunki nie są wymagane.

Na przykład, jeśli # p = 0 #, #q! = 0 # i #r! = 0 # następnie:

# px ^ 2 + qx + r = 0 # ma root # x = -r / q #

# qx ^ 2 + rx + p = 0 # ma korzenie # x = -r / q # i # x = 0 #

Zatem dwa równania mają wspólny pierwiastek, ale #p! = q # i nie wymagamy # p + q + r = 0 #.

Patrz poniżej.

Tak jak # px ^ 2 + qx + r = 0 # i # qx ^ 2 + rx + p = 0 # mieć wspólny korzeń, niech ten korzeń będzie #alfa#. Następnie

# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # i # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #

i stąd # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #

i # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # i # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #

to znaczy # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #

lub # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #

lub # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #

lub # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # i dzielenie przez # p #

lub # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #

to znaczy # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #

Stąd też # p + q + r = 0 # lub # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #

Obserwuj to jako # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #

# alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alfa ^ 2 + alfa + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #

i jeśli # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, mamy # alpha ^ 2 + alfa + 1 = 0 # to znaczy # p = q = r #