Jaki zabawny, przydatny fakt matematyczny znasz, czego zwykle nie uczy się w szkole?

Odpowiedź:

Jak ocenić „wieże wykładników”, takie jak #2^(2^(2^2))#i jak wypracować ostatnią cyfrę # 2 ^ n, # # ninNN #.

Wyjaśnienie:

Aby ocenić te „wieże”, zaczynamy od góry i schodzimy w dół.

Więc:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Na podobnej, ale nieco niezwiązanej nucie, wiem również, jak wypracować ostatnie cyfry #2# podniesiony do dowolnego wykładnika naturalnego. Ostatnia cyfra #2# podniesiony do czegoś zawsze cyklicznie między czterema wartościami: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Więc jeśli chcesz znaleźć ostatnią cyfrę # 2 ^ n #, znajdź miejsce w cyklu i poznasz jego ostatnią cyfrę.

Odpowiedź:

Jeśli #n> 0 # i #za# jest przybliżeniem #sqrt (n) #, następnie:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

gdzie #b = n-a ^ 2 #

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że chcemy znaleźć pierwiastek kwadratowy z pewnej liczby #n> 0 #.

Ponadto chcielibyśmy, aby wynik był pewnego rodzaju ciągłym ułamkiem, który powtarza się na każdym kroku.

Próbować:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (biały) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (biały) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Odejmować #za# z obu stron, aby uzyskać:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Pomnóż obie strony przez #sqrt (n) + a # uzyskać:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Więc jeśli # a ^ 2 # jest trochę mniej niż # n #, następnie #b# będzie niewielki, a dalszy ciąg będzie szybszy.

Na przykład, jeśli mamy # n = 28 # i wybierz # a = 5 #, wtedy dostajemy:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Więc:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

co daje nam przybliżenia:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5,29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5,2915094 #

Kalkulator mi mówi #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Więc to nie zbiega się szczególnie szybko.

Alternatywnie, moglibyśmy to powiedzieć # n = 28 # i # a = 127/24 # znaleźć:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Więc:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

dając nam przybliżenia:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

To jest dużo szybsze.

Odpowiedź:

Można znaleźć przybliżenia pierwiastków kwadratowych za pomocą rekurencyjnie zdefiniowanej sekwencji.

Wyjaśnienie:

#kolor biały)()#

Metoda

Dana dodatnia liczba całkowita # n # co nie jest idealnym kwadratem:

• Pozwolić #p = piętro (sqrt (n)) # być największą dodatnią liczbą całkowitą, której kwadrat nie przekracza # n #.

• Pozwolić #q = n-p ^ 2 #

• Zdefiniuj ciąg liczb całkowitych według:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "dla" i> = 1):} #

Wtedy stosunek między kolejnymi warunkami sekwencji będzie zmierzał w kierunku # p + sqrt (n) #

#kolor biały)()#

Przykład

Pozwolić # n = 7 #.

Następnie #p = piętro (sqrt (7)) = 2 #, od #2^2=4 < 7# ale #3^2 = 9 > 7#.

Następnie # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Tak zaczyna się nasza sekwencja:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Teoretycznie stosunek kolejnych terminów powinien zmierzać w kierunku # 2 + sqrt (7) #

Zobaczmy:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Zauważ, że # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#kolor biały)()#

Jak to działa

Załóżmy, że mamy sekwencję zdefiniowaną przez podane wartości # a_1, a_2 # i reguła:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

dla niektórych stałych # p # i # q #.

Rozważmy równanie:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Korzenie tego równania to:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Następnie dowolna sekwencja z ogólnym terminem # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # spełni określoną regułę powtarzania.

Następne rozwiązanie:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

dla #ZA# i #B#.

Znaleźliśmy:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

i stąd:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Tak więc z tymi wartościami # x_1, x_2, A, B # mamy:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Jeśli #q <3p ^ 2 # następnie #abs (x_2) <1 # a stosunek między kolejnymi terminami będzie dążył do # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Odpowiedź:

Podział modułowy

Wyjaśnienie:

Podział na moduły jest taki sam jak podział, z tym że odpowiedź jest resztą zamiast wartości rzeczywistej. Niż #-:# symbol, używasz #%# symbol.

Na przykład zazwyczaj, jeśli miałbyś rozwiązać #16-:5# dostaniesz #3# reszta #1# lub #3.2#. Jednak używając podziału modułowego, #16%5=1#.

Odpowiedź:

Ocena kwadratów z sumami

Wyjaśnienie:

Zwykle powinieneś znać kwadraty, takie jak #5^2=25#. Jednak gdy liczby stają się większe, takie jak #25^2#, coraz trudniej jest zorientować się w głowie.

Zdałem sobie sprawę, że po chwili kwadraty są tylko sumami liczb nieparzystych.

Mam na myśli to:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # gdzie # k # jest wartością bazową minus #1#

Więc #5^2# może być napisane jako:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

To da ci:

#1+3+5+7+9#

W rzeczywistości tak jest #25#.

Ponieważ liczby zawsze rosną o #2#, Mógłbym wtedy dodać pierwszy i ostatni numer, a następnie pomnożyć przez # k / 2 #.

Więc dla #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Więc mogę to zrobić #(49+1)(25/2)# i dostać #25^2# który jest #625#.

To nie jest zbyt praktyczne, ale interesujące jest wiedzieć.

#kolor biały)()#

Premia

Wiedząc to:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n terminy" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

pozwala nam rozwiązać niektóre problemy dotyczące różnic kwadratów.

Na przykład, jakie są wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych dodatnich #m, n # z # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Zmniejsza się to do znalezienia sumy kolejnych nieparzystych liczb całkowitych #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ „średnia 20” #

#color (biały) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (biały) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (biały) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ „średnia 10” #

#color (biały) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (biały) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (biały) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #