Liczba sposobów, w jakie egzaminator może przypisać 30 znaków do 8 pytań, podając nie mniej niż 2 znaki na każde pytanie to?

Odpowiedź:

#259459200#

Wyjaśnienie:

Jeśli czytam to poprawnie, wtedy jeśli egzaminator może przypisać znaki tylko w wielokrotnościach 2. Oznaczałoby to, że jest tylko 15 wyborów z 30 ocen. #30/2 = 15#

Następnie mamy 15 wyborów podzielonych na 8 pytań.

Używając formuły dla permutacji:

# (n!) / ((n - r)!) #

Gdzie # n # to liczba obiektów (w tym przypadku znaki w grupach po 2).

I # r # to, ile jest wykonywanych jednocześnie (w tym przypadku 8 pytań)

Więc mamy:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Odpowiedź:

Tam są # "" _ 21C_14 # (lub 116.280) sposobów.

Wyjaśnienie:

Zaczynamy od 30 znaków w „banku”, aby dać. Ponieważ wszystkie pytania muszą być warte co najmniej 2 znaki, bierzemy # 2 xx 8 = 16 # znaki z #30# i rozprowadzaj je jednakowo. Teraz każde pytanie ma 2 (do tej pory), a „bank” pozostaje #30-16=14# znaki.

Teraz musimy tylko znaleźć liczbę sposobów na podzielenie pozostałych 14 znaków spośród 8 pytań. Na początku może się to wydawać bardzo trudne, ale istnieje sztuczka, która czyni go bardziej intuicyjnym.

Uprośćmy na chwilę. A gdybyśmy mieli tylko 2 pytania i 14 znaków do podziału? Ile sposobów możemy to zrobić? Możemy podzielić znaki na 14 + 0 lub 13 + 1 lub 12 + 2 itd. … lub 1 + 13 lub 0 + 14. Innymi słowy, gdy musimy tylko wprowadzić 1 podział (pomiędzy 2 pytaniami), otrzymujemy 15 sposobów, aby to zrobić.

To samo dotyczy pytania: „Ile unikalnych sposobów możemy ułożyć 14 żółtych kulek (znaków) i 1 niebieski marmur (rozdzielacz pytań) z rzędu?” Odpowiedź na to pytanie można znaleźć, obliczając liczbę permutacji wszystkich 15 kulek (czyli #15!#), a następnie podzielenie przez liczbę sposobów na permutację obu żółtych kulek #(14!)# i niebieskie kulki #(1!)#, ponieważ w każdym układzie nie ma znaczenia, w jakiej kolejności pojawiają się identyczne kulki.

Więc kiedy jest 14 żółtych kulek (znaków) i 1 niebieski marmur (rozdzielacz pytań), są

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Anuluj (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 sposobów na układanie kulek (podział znaków). Uwaga: to jest równe # "" _ 15C_14 #.

Wprowadźmy kolejny niebieski marmur - to jest drugi podział, lub trzecie pytanie, aby dać znaki. Teraz mamy 16 całkowitych kulek i chcemy wiedzieć, ile unikalnych sposobów możemy je zorganizować. Podobnie jak wcześniej, bierzemy #16!# sposoby układania wszystkich marmurów, a następnie dzielą się sposobami permutacji obu żółtych #(14!)# i niebieskie #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Anuluj (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Istnieje więc 120 sposobów na podzielenie 14 znaków pomiędzy 3 pytaniami. Jest to również równe # "" _ 16C_14 #.

Do tej pory możesz zauważyć, dokąd zmierzamy. Numer na lewo od #DO# jest równa liczbie znaków, które dzielimy (żółte kulki) plus liczba rozgałęźników (niebieskie kulki). Liczba rozgałęźników jest zawsze jeden mniej niż liczba pytań. Numer po prawej stronie #DO# pozostaje liczba znaków.

Tak więc, aby podzielić pozostałe 14 znaków spośród wszystkich 8 pytań (co wymaga 7 splitterów), obliczamy

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (biały) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (biały) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Istnieje 116,280 sposobów na przypisanie 30 znaków do 8 pytań, gdzie każde pytanie jest warte co najmniej 2 znaki.