Dwa satelity P_ „1” i P_ „2” obracają się po orbitach promieni R i 4R. Stosunek maksymalnych i minimalnych prędkości kątowych linii łączącej P_ „1” i P_ „2” wynosi?

Odpowiedź:

#-9/5#

Wyjaśnienie:

Zgodnie z trzecim prawem Keplera # T ^ 2 propto R ^ 3 oznacza omega propto R ^ {- 3/2} #, jeśli prędkość kątowa zewnętrznego satelity jest #omega#, to, co wewnętrzne, jest #omega razy (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Rozważmy to # t = 0 # być chwilą, kiedy oba satelity są współliniowe z planetą macierzystą, i weźmy tę wspólną linię jako # X # oś. Następnie współrzędne dwóch planet w czasie # t # są # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # i # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, odpowiednio.

Pozwolić # theta # być kątem linii łączącej dwa satelity z # X # oś. Łatwo to zauważyć

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega-t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Plony zróżnicowania

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 razy #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) + 8 omega sin (8 omega t)) #

A zatem

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2s ^ ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9 cos (7 omega t) oznacza #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) oznacza #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equiv 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Gdzie funkcja

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

ma pochodną

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

i dlatego monotonicznie maleje w przedziale #-1,1#.

Zatem prędkość kątowa # (d theta) / dt # jest maksimum kiedy #cos (7 omega t) # jest minimalna i odwrotnie.

Więc, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 razy (-1)) / (17-8 razy (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega razy 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 razy 1) / (17-8 razy 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 razy omega (-1) / 9 = -4/3 omega #

a więc stosunek między nimi jest następujący:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Uwaga Fakt, że # (d theta) / dt # znak zmiany jest przyczyną tak zwanego pozornego ruchu wstecznego

Moc P generowana przez pewną turbinę wiatrową zmienia się bezpośrednio jako kwadrat prędkości wiatru w. Turbina wytwarza 750 W mocy przy wietrze o prędkości 25 mph. Jaka jest moc generowana przy wietrze o prędkości 40 mph?

Funkcją jest P = cxxw ^ 2, gdzie c = stała. Znajdźmy stałą: 750 = cxx25 ^ 2-> 750 = 625c-> c = 750/625 = 1,2 Następnie użyj nowej wartości: P = 1.2xx40 ^ 2 = 1920 Watów.

Dwa satelity o masach odpowiednio „M” i „m” obracają się wokół Ziemi na tej samej orbicie kołowej. Satelita o masie „M” jest daleko od innego satelity, a następnie jak może zostać wyprzedzony przez innego satelitę? Biorąc pod uwagę, M> m i ich prędkość jest taka sama

Satelita o masie M o prędkości orbitalnej v_o obraca się wokół Ziemi o masie M_e w odległości R od środka ziemi. Podczas gdy system jest w równowadze siła dośrodkowa z powodu ruchu kołowego jest równa i przeciwna do siły przyciągania grawitacyjnego między ziemią a satelitą. Zrównanie obu otrzymujemy (Mv ^ 2) / R = G (MxxM_e) / R ^ 2, gdzie G jest uniwersalną stałą grawitacyjną. => v_o = sqrt ((GM_e) / R) Widzimy, że prędkość orbitalna jest niezależna od masy satelity. Dlatego po umieszczeniu na okrągłej orbicie satelita pozostaje w tym samym miejscu. Jeden satelita nie może wyprzedzić drugiego na tej

Okres satelity poruszającego się bardzo blisko powierzchni Ziemi o promieniu R wynosi 84 minuty. jaki będzie okres tego samego satelity, jeśli zostanie on wykonany w odległości 3R od powierzchni ziemi?

A. 84 min Trzecie prawo Keplera stwierdza, że okres do kwadratu jest bezpośrednio powiązany z promieniem sześcianu: T ^ 2 = (4π ^ 2) / (GM) R ^ 3, gdzie T jest okresem, G jest uniwersalną stałą grawitacyjną, M jest masa ziemi (w tym przypadku), a R jest odległością od środków 2 ciał. Z tego możemy uzyskać równanie na okres: T = 2pisqrt (R ^ 3 / (GM)) Wydaje się, że jeśli promień jest potrojony (3R), to T wzrośnie o współczynnik sqrt (3 ^ 3) = sqrt27 Jednakże odległość R musi być mierzona od środka ciał. Problem stwierdza, że satelita leci bardzo blisko powierzchni ziemi (bardzo mała różnica), a poniew