Odpowiedź:
Patrz wyjaśnienie
Wyjaśnienie:
Łatwo to zauważyć
# x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Stąd mamy to # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 lub x = -3 #
Bądź świadomy, że korzenie # x_1 = 3, x_2 = -3 # mieć wiele #2#
ponieważ mamy wielomian czwartego stopnia.
Odpowiedź:
#x = + -3 #
Wyjaśnienie:
Normalnie, aby rozwiązać wielomian o stopniu 4 takim jak tutaj, musisz wykonać podział syntetyczny i użyć wielu twierdzeń i reguł - robi się to trochę bałaganiarskie. Jednak ten jest wyjątkowy, ponieważ możemy w rzeczywistości stworzyć równanie kwadratowe.
Robimy to, pozwalając #u = x ^ 2 #. Nie martw się, gdzie # u # pochodzi z; jest to coś, czego używamy, aby uprościć problem. Z #u = x ^ 2 #, problem staje się
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Czy to nie wygląda lepiej? Teraz mamy do czynienia z ładnym, łatwym równaniem kwadratowym. W rzeczywistości jest to idealny kwadrat; innymi słowy, kiedy to bierzesz pod uwagę # (u-9) ^ 2 #. Oczywiście, możemy użyć formuły kwadratowej lub uzupełnić kwadrat, aby rozwiązać to równanie, ale zazwyczaj nie masz wystarczająco dużo szczęścia, aby mieć doskonały kwadrat kwadratowy - więc skorzystaj. W tym momencie mamy:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Aby rozwiązać, bierzemy pierwiastek kwadratowy z obu stron:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
A to upraszcza
# u-9 = 0 #
Na koniec dodajemy 9 po obu stronach, aby uzyskać
#u = 9 #
Niesamowite! Prawie na miejscu. Jednak nasz pierwotny problem # x #s w tym, a nasza odpowiedź ma # u # w tym. Musimy się przekonać #u = 9 # w #x = # coś. Ale nie bój się! Pamiętaj, na początku powiedzieliśmy niech #u = x ^ 2 #? Cóż, teraz mamy nasze # u #, po prostu podłączamy go ponownie, aby znaleźć nasze # x #. Więc, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (bo #(-3)^2 = 9# i #(3)^2 = 9#)
Dlatego nasze rozwiązania są #x = 3 # i #x = -3 #. Zauważ, że #x = 3 # i #x = -3 # są podwójnymi korzeniami, więc technicznie wszystkie korzenie są #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
