Podano y = f (x).Wykres, y = f (3x) -2 i y = -f (x-1)?

Odpowiedź:

Nie miej pod ręką papieru milimetrowego - więc mam nadzieję, że opis pomoże!

Wyjaśnienie:

Dla # y = f (3x) -2 # pierwszy ściskać dany wykres wzdłuż # x # oś 3 razy (tak, że minimum lewej ręki, powiedzmy, występuje na # x = -2 / 3 #), a następnie naciśnij cały wykres na dół o 2 jednostki. Nowy wykres będzie miał minimum na #x = -2 / 3 # o wartości # y = -2 #, maksimum w #(0,0)# i kolejne minimum na #(4/3, -4)#

Dla # y = -f (x-1) # najpierw przesuń wykres o 1 jednostkę do dobrze, a następnie odwróć go do góry nogami! Nowy wykres będzie dwa maksima w #(-1,0)# i #(5,2)# i minimum na #(1,-2) #

Odpowiedź:

Oto bardziej szczegółowe wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Problemy są szczególnymi przypadkami bardziej ogólnego problemu:

Biorąc pod uwagę wykres dla # y = f (x) #, jaki jest wykres #y = a f (b x + c) + d # ?

(pierwszy jest na # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, podczas gdy drugi jest dla # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Postaram się wyjaśnić odpowiedź krok po kroku, rozwiązując problem krok po kroku. Będzie to dość długa odpowiedź - ale mam nadzieję, że ogólna zasada będzie jasna do końca.

Dla ilustracji użyję określonej krzywej, którą pokazuję poniżej, ale pomysł będzie ogólnie działać.

(Jeśli ktoś jest zainteresowany, funkcja, która jest tutaj drukowana, jest #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Podany wykres dla # y = f (x) #, jaki jest wykres #y = f (x) + d # ?

Ten jest łatwy - wszystko, co musisz zrobić, to zauważyć, że jeśli # (x, y) # to punkt na pierwszym wykresie # (x, y + d) # to punkt na drugim. Oznacza to, że drugi wykres jest wyższy niż pierwszy o odległość #re# (oczywiście jeśli #re# jest ujemny, jest niższy niż pierwszy wykres wg # | d | #).

A więc wykres # y = f (x) + 1 # będzie

Jak widać, wykres dla #y = f (x) + 1 # (ciągła fioletowa linia) uzyskuje się po prostu naciskając wykres # y = f (x) # (szara linia przerywana) w górę o jedną jednostkę.

Wykres dla # y = f (x) -1 # można znaleźć, naciskając oryginalny wykres na dół o jedną jednostkę:

2) Podany wykres dla # y = f (x) #, jaki jest wykres #y = f (x + c) # ?

Łatwo to zauważyć, jeśli # (x, y) # to punkt na # y = f (x) # wykres # (x-c, y) # będzie punkt na #y = f (x + c) # wykres. Oznacza to, że możesz uzyskać wykres #y = f (x + c) # z wykresu #y = f (x) # po prostu przesuwając go do lewo przez #do# (oczywiście jeśli #do# jest ujemny, musisz przesunąć oryginalny wykres o # | c | # w prawo.

Jako przykład, wykres dla # y = f (x + 1) # można znaleźć, przesuwając oryginalny wykres do lewo o jedną jednostkę:

podczas gdy dla # y = f (x-1) # polega na przesunięciu oryginalnego wykresu do dobrze o jedną jednostkę:

3) Podany wykres dla # y = f (x) #, jaki jest wykres #y = f (bx) # ?

Od #f (x) = f (b razy x / b) # wynika z tego, jeśli # (x, y) # to punkt na #y = f (x) # wykres # (x / b, y) # to punkt na # y = f (bx) # wykres.

Oznacza to, że oryginalny wykres musi być nękany o współczynnik #b# wzdłuż # x # oś. Oczywiście ściskanie przez #b# jest naprawdę rozciąganie przez # 1 / b # w przypadku gdzie # 0 <b <1 #

Wykres dla # y = f (2x) # jest

Zauważ, że podczas gdy wysokość pozostaje taka sama na 1, szerokość zmniejsza się o współczynnik 2. W szczególności szczyt pierwotnej krzywej przesunął się z # x = 1 # do # x = 1/2 #.

Z drugiej strony wykres dla # y = f (x / 2) # jest

Zauważ, że ten wykres jest dwa razy szerszy (ściskanie przez #1/2# jest taki sam jak rozciąganie o współczynnik 2), a szczyt również się przesunął # x = 1 # do # x = 2 #.

Należy zwrócić szczególną uwagę na przypadek, w którym #b# jest ujemny. Najlepiej wtedy pomyśleć o tym jako procesie dwuetapowym

• Najpierw znajdź wykres # y = f (-x) #, i wtedy
• ściśnij wynikowy wykres wg # | b | #

Zauważ, że dla każdego punktu # (x, y) # oryginalnego wykresu, punkt # (- x, y) # to punkt na wykresie # y = f (-x) # - więc nowy wykres można znaleźć, odbijając stary o # Y # oś.

Jako ilustrację dwuetapowego procesu, rozważ wykres # y = f (-2x) # pokazane poniżej:

Oto oryginalna krzywa, dla której # y = f (x) # jest najpierw odwrócona na temat # Y # oś, aby uzyskać krzywą dla # y = f (-x) # (cienka niebieska linia). Jest to następnie ściśnięte o współczynnik #2# aby uzyskać krzywą dla # y = f (-2x) # - gęsta fioletowa krzywa.

4) Podany wykres dla # y = f (x) #, jaki jest wykres #y = af (x) # ?

Wzór jest taki sam tutaj - jeśli # (x, y) # to punkt na pierwotnej krzywej # (x, ay) # to punkt na wykresie # y = af (x) #

Oznacza to, że dla pozytywnych #za#, wykres zostaje rozciągnięty o współczynnik #za# wzdłuż # Y # oś. Ponownie wartość #za# między 0 a 1 oznacza, że zamiast rozciągać, krzywa zostanie faktycznie ściśnięta o współczynnik # 1 / a # wzdłuż # Y # oś.

Poniższa krzywa służy do # y = 2f (x) #

Zauważ, że podczas gdy szczyt ma tę samą wartość # x # - jego wysokość podwoiła się do 2 z 1. Oczywiście nie jest to tylko szczyt, który został rozciągnięty - # y # współrzędna każdego punktu oryginalnej krzywej została podwojona, aby uzyskać nową krzywą.

Poniższy rysunek ilustruje ściskanie, które występuje, gdy #0<>

Jeszcze raz sprawa #a <0 # zachowuje szczególną ostrożność - i lepiej, jeśli zrobisz to w dwóch krokach

1. Najpierw odwróć krzywą do góry nogami o # X # oś, aby uzyskać krzywą dla # y = -f (x) #
2. Rozciągnij krzywą według # | a | # wzdłuż # Y # oś.

Krzywa dla # y = -f (x) # jest

natomiast poniższy rysunek ilustruje dwa etapy związane z rysowaniem krzywej dla #y = -2f (x) #

Kładąc wszystko razem

Teraz, gdy przeszliśmy poszczególne kroki, połączmy je razem! Procedura rysowania krzywej dla

# y = a f (bx + c) + d #

począwszy od tego # y = f (x) # zasadniczo składa się z następujących kroków

1. Wykreślić krzywą # y = f (x + c) #: przesuń wykres o odległość #do# w lewo
2. Potem spisz to #y = f (bx + c) #: ściśnij krzywą uzyskaną od kroku 1 w # X # kierunek przez czynnik # | b | #, (najpierw odwracając to o # Y # oś jeśli #b <0 #)
3. Następnie narysuj wykres # y = af (bx + c) #: skaluj krzywą uzyskaną od kroku 2 do współczynnika #za# w kierunku pionowym.
4. W końcu przesuń krzywą, którą otrzymujesz w kroku 3, o odległość #re# aby uzyskać ostateczny wynik.

Oczywiście wszystkie cztery kroki należy wykonywać tylko w ekstremalnych przypadkach - często wykonuje się mniejszą liczbę kroków! Ważna jest także kolejność kroków.

Jeśli zastanawiasz się, te kroki wynikają z faktu, że jeśli # (x, y) # to punkt na # y = f (x) # wykres, a następnie punkt

# ({x-c} / b, ay + d) # jest na # y = af (bx + c) + d # wykres.

Pozwólcie, że zilustruję ten proces na przykładzie z naszą funkcją #f (x) #. Spróbujmy skonstruować wykres dla #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Po pierwsze - przesunięcie w lewo o 3 jednostki

Następnie: ściśnij 2 razy wzdłuż # X # oś

Następnie odwróć wykres o # X # a następnie skalowanie o współczynnik 2 razem # Y #

Wreszcie, przesunięcie krzywej o 1 jednostkę - i skończyliśmy!