Para jasnych sześciościennych kości jest rzucana osiem razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że wynik większy niż 7 jest oceniany nie więcej niż pięć razy?

Odpowiedź:

#~=0.9391#

Wyjaśnienie:

Zanim przejdziemy do samego pytania, porozmawiajmy o metodzie jego rozwiązania.

Powiedzmy na przykład, że chcę wyjaśnić wszystkie możliwe wyniki z rzucania uczciwej monety trzy razy. Mogę uzyskać HHH, TTT, TTH i HHT.

Prawdopodobieństwo H jest #1/2# a prawdopodobieństwo T także #1/2#.

To znaczy dla HHH i TTT # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # każdy.

Dla TTH i HHT również # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # każdy, ale ponieważ istnieją 3 sposoby, w jakie mogę uzyskać każdy wynik, kończy się to # 3xx1 / 8 = 3/8 # każdy.

Kiedy podsumuję te wyniki, otrzymam #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - co oznacza, że mam teraz wszystkie możliwe wyniki rzutu monetą.

Zauważ, że jeśli ustawię # H # być # p # i dlatego mają # T # być # ~ p #, a także zauważyć, że mamy linię z Trójkąta Pascala #(1,3,3,1)#, utworzyliśmy formularz:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

i tak w tym przykładzie otrzymujemy:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Teraz możemy rozwiązać problem.

Otrzymujemy liczbę rzutów jako 8, więc # n = 8 #.

# p # jest sumą większą niż 7. Aby znaleźć prawdopodobieństwo uzyskania sumy większej niż 7, spójrzmy na możliwe rolki:

# ((kolor (biały) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Z 36 możliwości, 15 rzutów daje sumę większą niż 36, co daje prawdopodobieństwo #15/36=5/12#.

Z # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Możemy zapisać całą sumę możliwości - od uzyskania wszystkich 8 rolek o wartości większej niż 7 aż do uzyskania wszystkich 8 rolek o wartości 7 lub mniej:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

ale jesteśmy zainteresowani podsumowaniem tylko tych terminów, które mają naszą sumę większą niż 7, dzieje się 5 razy lub mniej:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Odpowiedź:

#0.93906#

Wyjaśnienie:

# "Więc P wynik> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "występuje k razy na 8 rzutów" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

#"(rozkład dwumianowy)"#

# "z" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinacje)" #

#"Więc, "#

#P "występuje co najwyżej 5 razy w 8 rzutach" #

# = 1 - P "występuje 6, 7 lub 8 razy w 8 rzutach" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#