Jak udowodnić (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Potrzebujemy tych dwóch tożsamości, aby uzupełnić dowód:

# tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Zacznę od prawej strony, a następnie manipuluję nią, aż będzie wyglądać jak lewa strona:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (biały) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (biały) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (biały) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#color (biały) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (czerwony) (* sinx / sinx) #

#color (biały) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (biały) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) kolor (czerwony) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (biały) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (biały) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#color (biały) (RHS) = LHS #

To dowód. Mam nadzieję, że to pomogło!

Staramy się udowodnić tożsamość:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Rozważ LHS wyrażenia i użyj definicji stycznej:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

Teraz rozważ RHS i użyj tożsamości:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Dając nam:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2 cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

A zatem:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) CO BYŁO DO OKAZANIA

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (anuluj (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2 cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #