Jak użyć twierdzenia dwumianowego do rozwinięcia (x + 1) ^ 4?

Odpowiedź:

# x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 #

Wyjaśnienie:

Twierdzenie dwumianowe stwierdza:

# (a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 #

więc tu, # a = x i b = 1 #

Dostajemy:

# (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 (1) + 6x ^ 2 (1) ^ 2 + 4x (1) ^ 3 + (1) ^ 4 #

# (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 #

Odpowiedź:

# 1 + 4x + 6x ^ 2 + 4x ^ 3 + x ^ 4 #

Wyjaśnienie:

Rozszerzenie dwumianowe daje:

# (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (n-r)!) a ^ (n-r) (bx) ^ r #

Więc dla # (1 + x) ^ 4 # mamy:

# (4!) / (0! (4-0)!) 1 ^ (4-0) x ^ 0 + (4!) / (1! (4-1)!) 1 ^ (4-1) x ^ 1 + (4!) / (2! (4-2)!) 1 ^ (4-2) x ^ 2 + (4!) / (3! (4-3)!) 1 ^ (4-3) x ^ 3 + (4!) / (4! (4-4)!) 1 ^ (4-4) x ^ 4 #

# 1 + 4x + 6x ^ 2 + 4x ^ 3 + x ^ 4 #

Znajdź pierwsze 3 i 3 ostatnie terminy w rozszerzeniu (2x-1) ^ 11, używając twierdzenia dwumianowego?

-1,22x, -220x ^ 2,28160x ^ 9, -11264x ^ 10,2048x ^ 11 (ax + b) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) (ax) ^ rb ^ (nr) = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) (ax) ^ rb ^ (nr) Więc chcemy rin {0,1,2,9 , 10,11} (11!) / (0! (11-0)!) (2x) ^ 0 (-1) ^ 11 = 1 (1) (- 1) = - 1 (11!) / (1 ! (11-1)!) (2x) ^ 1 (-1) ^ 10 = 11 (2x) (1) = 22x (11!) / (2! (11-2)!) (2x) ^ 2 ( -1) ^ 9 = 55 (4x ^ 2) (- 1) = - 220x ^ 2 (11!) / (9! (11-9)!) (2x) ^ 9 (-1) ^ 2 = 55 ( 512x ^ 9) (1) = 28160x ^ 9 (11!) / (10! (11-10)!) (2x) ^ 10 (-1) ^ 1 = 11 (1024x ^ 10) (- 1) = - 11264x ^ 10 (11!) / (11! (11-11)!) (2x) ^ 11 (-1) ^ 0 = 1 (2048x ^ 11) (1) = 2048x ^ 11 Są

Jak użyć twierdzenia dwumianowego, aby znaleźć stały termin?

Niech (2x + 3) ^ 3 będzie danym dwumianem. Z wyrażenia dwumianowego zapisz termin ogólny. Niech ten termin będzie terminem r + 1. Teraz uprość ten ogólny termin. Jeśli ten ogólny termin jest pojęciem stałym, to nie powinien zawierać zmiennej x. Napiszmy ogólny termin powyższego dwumianu. T_ (r + 1) = "" ^ 3 C_r (2x) ^ (3-r) 3 ^ r upraszcza, otrzymujemy, T_ (r + 1) = "" ^ 3 C_r 2 ^ (3-r) 3 ^ rx ^ (3-r) Teraz, aby ten termin był stałym terminem, x ^ (3-r) powinno być równe 1. Dlatego x ^ (3-r) = x ^ 0 => 3-r = 0 => r = 3 Zatem czwarty termin w ekspansji jest pojęciem stałym.

Użyj twierdzenia dwumianowego, aby rozwinąć (x + 7) ^ 4 i wyrazić wynik w postaci uproszczonej?

2401 + 1372x + 294x ^ 2 + 28x ^ 3 + x ^ 4 Korzystając z twierdzenia dwumianowego możemy wyrazić (a + bx) ^ c jako rozszerzony zbiór terminów x: (a + bx) ^ c = sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (cn)!) a ^ (cn) (bx) ^ n Tutaj mamy (7 + x) ^ 4 Tak więc, aby rozwinąć, robimy: (4!) / (0 ! (4-0)!) 7 ^ (4-0) x ^ 0 + (4!) / (1! (4-1)!) 7 ^ (4-1) x ^ 1 + (4!) / (2! (4-2)!) 7 ^ (4-2) x ^ 2 + (4!) / (3! (4-3)!) 7 ^ (4-3) x ^ 3 + (4! ) / (4! (4-4)!) 7 ^ (4-4) x ^ 4 (4!) / (0! (4-0)!) 7 ^ 4x ^ 0 + (4!) / (1 ! (4-1)!) 7 ^ 3x ^ 1 + (4!) / (2! (4-2)!) 7 ^ 2x ^ 2 + (4!) / (3! (4-3)!) 7x ^ 3 + (4!) / (4! (4-4)!) 7 ^ 0x ^ 4 (4!) / (0! 4!