Pytanie # 9be0d

Odpowiedź:

To równanie jest przybliżeniem energii relatywistycznej cząstki przy niskich prędkościach.

Wyjaśnienie:

Zakładam pewną wiedzę na temat szczególnej teorii względności, a mianowicie, że energia poruszającej się cząstki obserwowanej z ramy inercyjnej jest dana przez # E = gammamc ^ 2 #, gdzie # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # czynnik Lorentza. Tutaj # v # jest prędkością cząstki obserwowanej przez obserwatora w ramie inercyjnej.

Ważnym narzędziem przybliżającym dla fizyków jest przybliżenie szeregu Taylora. Oznacza to, że możemy przybliżyć funkcję #f (x) # przez #f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, im wyżej # N #, im lepsze przybliżenie. W rzeczywistości dla dużej klasy gładkich funkcji przybliżenie staje się dokładne jak # N # idzie do # oo #. Zauważ, że #f ^ ((n)) # oznacza n-tą pochodną #fa#.

Przybliżamy funkcję #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # dla małych # x #, zauważamy, że jeśli # x # jest mały, # x ^ 2 # będzie jeszcze mniejszy, więc zakładamy, że możemy zignorować czynniki tego zamówienia. Więc mamy #f (x) approxf (0) + f '(0) x # (to konkretne przybliżenie znane jest również jako przybliżenie Newtona). #f (0) = 0 # i #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, więc #f '(0) = 1/2 #. W związku z tym #f (x) approx1 + 1 / 2x #.

Teraz to zauważamy # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. Rzeczywiście, jeśli # v # jest mały w stosunku do #do#, co będzie w codziennych sytuacjach, takie jest przybliżenie # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Zastępowanie tego w równaniu dla całkowitej energii cząstki daje # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. Daje nam to energię kinetyczną #E _ ("kin") = E-E_ "reszta" approxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # dla niskich prędkości, co jest zgodne z klasycznymi teoriami. Dla wyższych prędkości mądrze jest użyć więcej terminów z serii Taylora, kończąc na tak zwanych korektach relatywistycznych energii kinetycznej.