Jak znaleźć ekstrema dla g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Odpowiedź:

#g (x) # nie ma maksimum i globalnego i lokalnego minimum w # x = -1 #

Wyjaśnienie:

Zauważ, że:

# (1) „” x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Więc funkcja

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

jest zdefiniowany dla każdego #x w RR #.

Poza tym jak #f (y) = sqrty # jest funkcją monotonicznie rosnącą, a następnie ekstremum #g (x) # jest także ekstremum dla:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Ale jest to wielomian drugiego rzędu z wiodącym współczynnikiem dodatnim, dlatego nie ma maksimum i pojedynczego lokalnego minimum.

Z #(1)# możemy łatwo zauważyć, że:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

i:

# x + 1 = 0 #

tylko kiedy # x = -1 #, następnie:

#f (x)> = 4 #

i

#f (x) = 4 #

Tylko dla # x = -1 #.

W konsekwencji:

#g (x)> = 2 #

i:

#g (x) = 2 #

Tylko dla # x = -1 #.

Możemy stwierdzić, że #g (x) # nie ma maksimum i globalnego i lokalnego minimum w # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # x ##w## RR #

Potrzebujemy # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ## x ##w## RR #:

#g '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• Dla #x <-1 # mamy #g '(x) <0 # więc #sol# jest coraz mniejszy # (- oo, -1 #

• Dla #x> ##-1# mamy #g '(x)> 0 # więc #sol# jest coraz większy # - 1, + oo) #

Stąd #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # AA ## x ##w## RR #

W rezultacie #sol# ma globalne minimum na # x_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #