Jakie są asymptoty (y) i dziury (s), jeśli występują, f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Odpowiedź:

# x = 0 # to asymptota.

# x = 1 # to asymptota.

#(3, 5/18)# jest dziurą.

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, uprośćmy naszą frakcję bez anulowania czegokolwiek (ponieważ będziemy brać limity, a anulowanie rzeczy może to zepsuć).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Teraz: otwory i asymptoty są wartościami, które czynią funkcję niezdefiniowaną. Ponieważ mamy funkcję wymierną, będzie ona niezdefiniowana wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik będzie równy 0. Dlatego musimy tylko sprawdzić wartości # x # które stanowią mianownik #0#, które są:

# x = 0 #

# x = 1 #

# x = 3 #

Aby dowiedzieć się, czy są to asymptoty lub dziury, weźmy limit #f (x) # tak jak # x # zbliża się do każdej z tych liczb.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3)) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

Więc # x = 0 # to asymptota.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

Więc # x = 1 # to asymptota.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2))) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Więc #(3, 5/18)# jest dziura #f (x) #.

Ostatnia odpowiedź