Sznurek o długości 20 cm jest cięty na dwie części. Jedna z części służy do utworzenia obwodu kwadratu?

Odpowiedź:

# „Minimalna całkowita powierzchnia = 10,175 cm².” #

# „Maksymalna całkowita powierzchnia = 25 cm².” #

Wyjaśnienie:

# „Nazwij x długość elementu, aby utworzyć kwadrat”. #

# „Wtedy obszar kwadratu to„ (x / 4) ^ 2 ”.” #

# „Obwód trójkąta to„ 20-x ”.” #

# "Jeśli y jest jednym z równych boków trójkąta, to mamy" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => obszar = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Całkowita powierzchnia =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# „To jest parabole i minimum na parabole” #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "to" x = -b / (2 * a) ", jeśli> 0."

# „Maksimum to„ x-> oo ”, jeśli> 0.” #

# „Więc minimum to” #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => „Całkowita powierzchnia =” 10,175 „cm²” #

# „Maksymalnie wynosi x = 0 lub x = 20.” #

# „Sprawdzamy obszar:” #

# "When" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Kiedy" x = 20 => "obszar =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# „Więc maksymalna łączna powierzchnia wynosi 25 cm².” #

Odpowiedź:

Minimalna powierzchnia to #10.1756# i maksimum jest #25#

Wyjaśnienie:

Obwód trójkąta równoramiennego prostopadłego do boku #za# jest # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # a jego powierzchnia jest # a ^ 2/2 #,

Niech jeden kawałek będzie # x # cm. z którego tworzymy prostokątny trójkąt równoramienny. Widać, że strona prawego kąta równoramiennego trójkąta byłaby # x / (2 + sqrt2) # a jego obszar byłby

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Obwód innej części sznurka, który tworzy kwadrat, to # (20-x) # a jako bok kwadratu # (20-x) / 4 # jego powierzchnia jest # (20-x) ^ 2/16 # i całkowita powierzchnia # T # z tych dwóch jest

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Obseruj to # 3-2sqrt2> 0 #, stąd współczynnik # x ^ 2 # jest pozytywny i dlatego będziemy mieli minima i będziemy mogli pisać # T # tak jak

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Tak jak # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # jest zawsze dodatnia, mamy minimalną wartość # T # gdy # x = 11,8596 #.

Zauważ, że teoretycznie nie ma maksimów dla funkcji, ale jako wartość # x # kłamstwa pomiędzy #0,20#, i kiedy # x = 0 #, mamy # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

i kiedy # x = 20 # gdy # T = 0,1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

a zatem maksima są #25#

wykres {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}