Jakie są ekstrema f (x) = 3x-1 / sinx na [pi / 2, (3pi) / 4]?

Odpowiedź:

Bezwzględne minimum w domenie występuje w ok. # (pi / 2, 3.7124) #, a absolutne maksimum w domenie występuje w ok. # (3pi / 4, 5.6544) #. Nie ma ekstrema lokalnego.

Wyjaśnienie:

Zanim zaczniemy, musimy przeanalizować i sprawdzić, czy #sin x # przyjmuje wartość #0# w dowolnym momencie interwału. #sin x # jest zero dla wszystkich x tak, że #x = npi #. # pi / 2 # i # 3pi / 4 # oba są mniejsze niż #Liczba Pi# i większy niż # 0pi = 0 #; a zatem, #sin x # nie przyjmuje tutaj wartości zero.

Aby to ustalić, pamiętaj, że gdziekolwiek występuje ekstremum #f '(x) = 0 # (punkt krytyczny) lub na jednym z punktów końcowych. Mając to na uwadze, bierzemy pochodną powyższego f (x) i odnajdujemy punkty, w których ta pochodna jest równa 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Jak powinniśmy rozwiązać ten ostatni termin?

Rozważmy krótko zasada wzajemności, który został opracowany do obsługi takich sytuacji, jak nasz ostatni termin tutaj, # d / (dx) (1 / sin x) #. Zasada wzajemności pozwala nam ominąć bezpośrednio, stosując regułę łańcucha lub ilorazu, stwierdzając, że dana funkcja jest różniczkowalna #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

gdy #g (x)! = 0 #

Wracając do naszego głównego równania, zrezygnowaliśmy z;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Od #sin (x) # jest różniczkowalny, możemy tu zastosować zasadę wzajemności:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Ustawiając to na 0, dochodzimy do:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Może to nastąpić tylko wtedy, gdy #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Z tego miejsca może nam się spodobać użycie jednej z definicji trygonometrycznych # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3 znaki ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Przypomina to wielomian z #cos x # zastępując nasz tradycyjny x. Tak więc oświadczamy #cos x = u # i…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Używając wzoru kwadratowego tutaj …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Nasze korzenie występują na #u = (1 + -sqrt37) / 6 # według tego. Jednak jedno z tych korzeni (# (1 + sqrt37) / 6 #) nie może być rootem dla #cos x # ponieważ root jest większy niż 1 i # -1 <= cosx <= 1 # dla wszystkich x. Z drugiej strony nasz drugi korzeń oblicza w przybliżeniu #-.847127#. Jest to jednak mniej niż wartość minimalna #cos x # funkcja może w interwale (od #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. A zatem, nie ma krytycznego punktu w domenie.

Mając to na uwadze, musimy wrócić do naszych punktów końcowych i wprowadzić je do pierwotnej funkcji. Robimy to, otrzymujemy #f (pi / 2) ok. 3.7124, f (3pi / 4) ok. 5.6544 #

Zatem nasze absolutne minimum w domenie jest w przybliżeniu # (pi / 2, 3.7124), # a nasze maksimum jest w przybliżeniu # (3pi / 4, 5.6544) #