Jaki jest wektor jednostkowy, który jest normalny do płaszczyzny zawierającej (i + k) i (i - 2 j + 3 k)?

Odpowiedź:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #

Wyjaśnienie:

Wektor, który jest normalny (prostopadły, prostopadły) do płaszczyzny zawierającej dwa wektory, jest również normalny dla obu podanych wektorów. Możemy znaleźć wektor normalny, przyjmując iloczyn krzyżowy dwóch danych wektorów. Możemy wtedy znaleźć wektor jednostkowy w tym samym kierunku co wektor.

Najpierw napisz każdy wektor w postaci wektorowej:

# veca = <1,0,1> #

# vecb = <1, -2,3> #

Produkt krzyżowy, # vecaxxvecb # jest znaleziony przez:

# vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, veck), (1,0,1), (1, -2,3)) #

Dla ja komponent, mamy:

#(0*3)-(-2*1)=0-(-2)=2#

Dla jot komponent, mamy:

#-(1*3)-(1*1)=-3-1=-2#

Dla k komponent, mamy:

#(1*-2)-(0*1)=-2-0=-2#

W związku z tym, # vecn = <2, -2, -2> #

Teraz, aby uczynić to wektorem jednostkowym, dzielimy wektor przez jego wielkość. Wielkość podaje:

# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt ((2) ^ 2 + (- 2) ^ 2 + (- 2) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt (4 + 4 + 4) = sqrt (12) = 2sqrt3 #

Wektor jednostki jest następnie podawany przez:

# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<2, -2, -2>) / (2sqrt (3)) #

# vecu = <2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3))> #

# vecu = <1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3)> #

Racjonalizując mianownik, otrzymujemy:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #