Pytanie # 059f6

Odpowiedź:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Wyjaśnienie:

Rozwój funkcji Taylora #fa# w #za# jest #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Pamiętaj, że jest to seria mocy, więc niekoniecznie zbiega się z nią #fa# lub nawet zbiegają się gdzie indziej niż w # x = a #.

Najpierw potrzebujemy pochodnych #fa# jeśli chcemy spróbować napisać prawdziwą formułę swojej serii Taylora.

Po rachunku i dowodzie indukcji możemy to powiedzieć #AAk w NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # i #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Tak więc po pewnym szorstkim i małym uproszczeniu wydaje się, że seria Taylora #fa# jest #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.