Czy istnieje systematyczny sposób określenia liczby liczb od 10 do, powiedzmy, 50, podzielnej przez cyfry ich jednostek?

Odpowiedź:

Liczba liczb między #10# i # 10k # podzielne przez cyfry jednostek można przedstawić jako

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

gdzie #fl (x) # reprezentuje funkcję podłogi, mapowanie # x # do największej liczby całkowitej mniejszej lub równej # x #.

Wyjaśnienie:

Jest to równoznaczne z pytaniem, ile liczb całkowitych #za# i #b# istnieje gdzie # 1 <= b <5 # i # 1 <= a <= 9 # i #za# dzieli # 10b + #

Zauważ, że #za# dzieli # 10b + # wtedy i tylko wtedy gdy #za# dzieli # 10b #. Wystarczy więc znaleźć ich liczbę #b#istnieje dla każdego #za#. Zwróć także uwagę na to #za# dzieli # 10b # jeśli i tylko wtedy, gdy każdy główny czynnik #za# jest również głównym czynnikiem # 10b # z odpowiednią mnogością.

Pozostaje tylko przejść przez każdy #za#.

#a = 1 #: Jak wszystkie liczby całkowite są podzielne przez #1#, wszystkie cztery wartości dla #b# praca.

# a = 2 #: Tak jak #10# jest podzielny przez #2#, wszystkie cztery wartości dla #b# praca.

# a = 3 #: Tak jak #10# nie jest podzielny przez #3#, musimy mieć #b# podzielny przez #3#, to jest, # b = 3 #.

# a = 4 #: Tak jak #10# jest podzielny przez #2#, musimy mieć #b# jak podzielne przez #2# mieć odpowiednią różnorodność. A zatem, # b = 2 # lub # b = 4 #.

# a = 5 #: Tak jak #10# jest podzielny przez #5#, wszystkie cztery wartości dla #b# praca.

# a = 6 #: Tak jak #10# jest podzielny przez #2#, musimy mieć #b# jak podzielne przez #3#, to jest, # b = 3 #.

# a = 7 #: Tak jak #10# nie jest podzielny przez #7#, musimy mieć #b# jak podzielne przez #7#. Ale #b <5 #, a więc bez wartości #b# Prace.

# a = 8 #: Tak jak #10# jest podzielny przez #2#, musimy mieć #b# jak podzielne przez #4#, to jest, # b = 4 #

# a = 9: # Tak jak #10# nie jest podzielny przez #3#, musimy mieć #b# jak podzielne przez #3^2#. Ale #b <5 #, a więc bez wartości #b# Prace.

Na tym kończy się każdy przypadek, a więc, dodając je, otrzymujemy, jak stwierdzono w pytaniu, #17# wartości. Jednak ta metoda może być łatwo rozszerzona na większe wartości. Na przykład, jeśli chcieliśmy odejść #10# do #1000#ograniczylibyśmy # 1 <= b <100 #. Potem, patrząc na # a = 6 #powiedzmy, że tak #2# dzieli #10# a zatem #6# dzieli # 10b # wtedy i tylko wtedy gdy #3# dzieli #b#. Tam są #33# wielokrotności #3# w zakresie dla #b#, a zatem #33# liczby, które kończą się #6# i są podzielne przez #6# pomiędzy #10# i #1000#.

W krótszej, łatwiejszej do obliczenia notacji, korzystając z powyższych obserwacji, możemy zapisać liczbę liczb całkowitych między #10# i # 10k # tak jak

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

gdzie #fl (x) # reprezentuje funkcję podłogi, mapowanie # x # do największej liczby całkowitej mniejszej lub równej # x #.