Czy sekwencja a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) jest zbieżna lub rozbieżna?

Odpowiedź:

# „Zobacz wyjaśnienie” #

Wyjaśnienie:

#a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n #

# = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n #

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n #

# „Zauważ, że możesz tutaj łatwiej zastosować limit Eulera:” #

#lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2,7182818 …. #

# => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754,79 …. #

# „Więc sekwencja rośnie bardzo duża, ale nie nieskończenie duża, więc” #

# "zbieżne." #

Jaki będzie limit następującej sekwencji, ponieważ n dąży do nieskończoności? Czy sekwencja będzie zbieżna czy rozbieżna?

1 lim_ (n ) a_n = lim_ (n ) (1 + sinn) ^ (1 / n) = (1 + sin ) ^ (1 / ) = (1+ (dowolna liczba między -1 a 1)) ^ 0 = 1 oznacza to, że dana sekwencja zbiega się i zbiega do 1

Czy seria jest całkowicie zbieżna, zbieżna warunkowo lub rozbieżna? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...

Zbiega się absolutnie. Użyj testu dla zbieżności absolutnej. Jeśli weźmiemy wartość bezwzględną pojęć, otrzymamy szereg 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... Jest to seria geometryczna wspólnego współczynnika 1/4. W ten sposób zbiega się. Od obu | a_n | zbiega się a_n zbiega się absolutnie. Mam nadzieję, że to pomoże!

Czy seria __ (n = 0) ^ inty1 / ((2n + 1)!) Jest absolutnie zbieżna, warunkowo zbieżna lub rozbieżna?

„Porównaj to z„ sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 ... ”Każdy termin jest równy lub mniejszy niż„ sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 ... "Wszystkie terminy są dodatnie, więc suma S serii jest pomiędzy" 0 <S <e = 2,7182818 .... "Więc seria jest absolutnie zbieżny."