Czy seria __ (n = 0) ^ inty1 / ((2n + 1)!) Jest absolutnie zbieżna, warunkowo zbieżna lub rozbieżna?

Odpowiedź:

# "Porównaj to z" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 … #

Wyjaśnienie:

# „Każdy termin jest równy lub mniejszy niż„ #

#sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = exp (1) = e = 2,7182818 … #

# „Wszystkie terminy są pozytywne, więc suma S serii jest pomiędzy” #

# 0 <S <e = 2,7182818 …. #

# „Więc seria jest całkowicie zbieżna.” #

W jaki sposób można ustalić, czy niewłaściwa całka jest zbieżna lub rozbieżna int 1 / [sqrt x] od 0 do nieskończoności?

Całka się rozbiega. Możemy użyć testu porównawczego dla całek niewłaściwych, ale w tym przypadku całka jest tak prosta do oceny, że możemy ją po prostu obliczyć i sprawdzić, czy wartość jest ograniczona. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo Oznacza to, że całka rozbiega się.

Czy seria jest całkowicie zbieżna, zbieżna warunkowo lub rozbieżna? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...

Zbiega się absolutnie. Użyj testu dla zbieżności absolutnej. Jeśli weźmiemy wartość bezwzględną pojęć, otrzymamy szereg 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... Jest to seria geometryczna wspólnego współczynnika 1/4. W ten sposób zbiega się. Od obu | a_n | zbiega się a_n zbiega się absolutnie. Mam nadzieję, że to pomoże!

Czy sekwencja a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) jest zbieżna lub rozbieżna?

„Patrz wyjaśnienie” a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n "Zauważ, że możesz tutaj łatwiej zastosować ograniczenie Eulera:" lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 .... => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754,79 .... "Więc sekwencja rośnie bardzo duża, ale nie nieskończenie duży, więc „„ zbiega się ”.