Jak znaleźć pochodną (cos ^ 2 (x) sin ^ 2 (x))?

Odpowiedź:

# sin2xcos2x #

Wyjaśnienie:

W tym ćwiczeniu musimy zastosować: dwie właściwości

pochodna produktu:

#color (czerwony) ((uv) '= u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) #

Pochodna mocy:

#color (niebieski) ((u ^ n (x)) '= n (u) ^ (n-1) (x) u' (x)) #

W tym ćwiczeniu pozwól:

#color (brązowy) (u (x) = cos ^ 2 (x)) #

#color (niebieski) (u '(x) = 2cosxcos'x) #

#u '(x) = - 2cosxsinx #

Znając tożsamość trygonometryczną, która mówi:

#color (zielony) (sin2x = 2sinxcosx) #

#u '(x) = - kolor (zielony) (sin2x) #

Pozwolić:

#color (brązowy) (v (x) = sin ^ 2 (x)) #

#color (niebieski) (v '(x) = 2sinxsin'x) #

#v '(x) = 2sinxcosx #

#v '(x) = kolor (zielony) (sin2x) #

Więc, # (cos ^ 2xsin ^ 2x) '#

# = kolor (czerwony) ((uv) ”#

# = kolor (czerwony) (u '(x) v (x) + v' (x) u (x)) #

# = (- sin2x) (sin ^ 2x) + sin (2x) cos ^ 2x #

# = sin2x (cos ^ 2x-sin ^ 2x) #

Znając tożsamość trygonometryczną, która mówi:

#color (zielony) (cos2x = cos ^ 2x-sin ^ 2x) #

W związku z tym, # (cos ^ 2xsin ^ 2x) '= sin2xcos2x #

Pokaż, że cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jestem trochę zdezorientowany, jeśli zrobię Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) i cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), zmieni się ono w cos (180 ° -heta) = - costheta w drugi kwadrant. Jak mogę udowodnić pytanie?

Patrz poniżej. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Jak znaleźć pochodną y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) Użyj reguły produktu: Jeśli y = f (x) g (x), to dy / dx = f '(x) g (x) + g' ( x) f (x) Więc, f (x) = sin ^ 2x g (x) = cos ^ 2x Użyj reguły łańcucha, aby znaleźć obie pochodne: Przypomnij sobie, że d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sxxxx g' (x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx Zatem dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) = > -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) Istnieje tożsamość, którą 2sinxcosx = sin2x, ale ta tożsamość jest bardziej myląca niż pomocna przy upraszczaniu odpowiedzi.

Jak znaleźć pochodną G (x) = (4-cos (x)) / (4 + cos (x))?

(8sinx) / (4 + cosx) ^ 2 Pochodna ilorazu jest zdefiniowana następująco: (u / v) '= (u'v-v'u) / v ^ 2 Niech u = 4-cosx i v = 4 + cosx Znając ten kolor (niebieski) ((d (cosx)) / dx = -sinx) Znajdźmy u 'i v' u '= (4-cosx)' = 0-kolor (niebieski) ((- sinx )) = sinx v '= (4 + cosx)' = 0 + kolor (niebieski) ((- sinx)) = - sinx G '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 G' (x) = (sinx (4 + cosx) - (- sinx) (4-cosx)) / (4 + cosx) ^ 2 G '(x) = (4sinx + sinxcosx + 4sinx-sinxcosx) / (4 + cosx ) ^ 2 G '(x) = (8sinx) / (4 + cosx) ^ 2