Jak znaleźć pochodną y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Odpowiedź:

# dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Wyjaśnienie:

Użyj reguły produktu:

Jeśli # y = f (x) g (x) #, następnie

# dy / dx = f '(x) g (x) + g' (x) f (x) #

Więc, #f (x) = sin ^ 2x #

#g (x) = cos ^ 2x #

Użyj reguły łańcucha, aby znaleźć obie pochodne:

Odwołaj to # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

#f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx #

#g '(x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sxxxx #

A zatem, # dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) #

# => - 2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Jest taka tożsamość # 2sinxcosx = sin2x #, ale ta tożsamość jest bardziej myląca niż pomocna przy upraszczaniu odpowiedzi.

Odpowiedź:

Jest coś, co sprawia, że odpowiedź jest o wiele prostsza do znalezienia.

Wyjaśnienie:

Możesz również o tym pamiętać #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #, stąd nowe wyrażenie funkcji.

#f (x) = sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) = (sin (2x) / 2) ^ 2 = sin ^ 2 (2x) / 4 # który jest dużo łatwiejszy do wyprowadzenia (1 kwadrat zamiast 2).

Pochodna # u ^ n # jest # n * u'u ^ (n-1) # i pochodna #sin (2x) # jest # 2cos (2x) #

Więc #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

Zaletą tych tożsamości trygonometrycznych jest dla fizyków, mogą oni znaleźć każdą informację na fali, którą reprezentuje ta funkcja. Są również bardzo przydatne, gdy trzeba znaleźć prymitywy funkcji trygonometrycznych.