Jak udowodnić, że seria jest zbieżna?

Odpowiedź:

Zbiega się w teście porównania bezpośredniego.

Wyjaśnienie:

Możemy korzystać z testu porównania bezpośredniego, o ile mamy

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, seria zaczyna się od jednego.

Aby skorzystać z testu porównania bezpośredniego, musimy to udowodnić # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # jest pozytywne # 1, oo) #.

Po pierwsze, zwróć uwagę na interwał # 1, oo), cos (1 / k) # jest pozytywny. Dla wartości #x # cosx # jest w pierwszej ćwiartce (a zatem pozytywnie). Cóż, bo #k> = 1, 1 / k więc, #cos (1 / k) # jest rzeczywiście pozytywny.

Ponadto możemy powiedzieć #cos (1 / k) <= 1 #, tak jak #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Następnie możemy zdefiniować nową sekwencję

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # dla wszystkich # k. #

Dobrze, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1/9 sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Wiemy, że zbiega się to przez # p- #test serii, jest w formie # sum1 / k ^ p # gdzie # p = 2> 1 #.

Następnie, ponieważ większa seria zbiega się, tak samo musi być mniejsza seria.

Odpowiedź:

Jest zbieżny w teście bezpośredniego porównania (szczegóły poniżej).

Wyjaśnienie:

Rozpoznaj, że zakres cosinusa wynosi -1,1. Sprawdź wykres #cos (1 / x) #:

graph {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Jak widzisz, maksymalny wartość ta osiągnie wartość 1. Ponieważ staramy się tutaj udowodnić zbieżność, ustawmy licznik na 1, pozostawiając:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Teraz staje się to bardzo prostym problemem testu bezpośredniego porównania. Przypomnij sobie, co robi test porównania bezpośredniego:

Rozważmy dowolną serię #na# (nie wiemy, czy jest zbieżny / rozbieżny), a także serię, dla której znamy zbieżność / dywergencję, # b_n #:

Jeśli #b_n> a_n # i # b_n # zbiega się #na# również zbieżne.

Jeśli #b_n <a_n # i # b_n # odchodzi więc #na# również rozbieżne.

Możemy porównać tę funkcję z #b_n = 1 / k ^ 2 #. Możemy to zrobić, ponieważ wiemy, że zbiega się (z powodu testu p).

Od tego czasu # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, i # 1 / k ^ 2 # zbiega się, możemy powiedzieć, że seria zbieżna

Ale poczekajmy, udowodniliśmy tylko, że ta seria zbiega się, gdy licznik = 1. A co z wszystkimi innymi wartościami #cos (1 / k) # może podjąć? Pamiętaj, że 1 to maksymalny wartość, którą mógłby przyjąć licznik. Ponieważ udowodniliśmy, że jest to zbieżne, pośrednio udowodniliśmy, że ta seria zbiegła się dla dowolnej wartości w liczniku.

Mam nadzieję, że to pomogło:)