Proszę wyjaśnić, to jest transformacja liniowa czy nie?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej

Wyjaśnienie:

Przekształcenie #T: V do W # mówi się, że jest liniowy, jeśli ma następujące dwie właściwości:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # dla każdego # v_1, v_2 w V #
• #T (cv) = cT (v) # dla każdego #v w V # i każdy skalar #do#

Zauważ, że druga właściwość zakłada, że # V # jest osadzony w dwóch operacjach mnożenia sumarycznego i skalarnego. W naszym przypadku suma jest sumą między wielomianami, a mnożenie jest mnożeniem z liczbami rzeczywistymi (zakładam).

Kiedy wyprowadzasz wielomian, obniżasz jego stopień o #1#, więc jeśli wyprowadzisz wielomian stopnia #4# dwa razy otrzymasz wielomian stopnia #2#. Zauważ, że kiedy mówimy o zbiorze wszystkich czterostopniowych wielomianów, w rzeczywistości mamy na myśli zbiór wszystkich wielomianów stopnia najbardziej cztery. W rzeczywistości jest cztery wielomiany stopnia ogólnego

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Jeśli chcesz wielomian stopnia drugiego # 3 + 6x-5x ^ 2 #na przykład po prostu wybierasz

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Mając to na uwadze, zidentyfikujmy wielomianową przestrzeń stopnia # n # z # P_n #i zdefiniuj naszego operatora #T: P_4 do P_2 # takie #T (f (x)) = f '' (x) #

Udowodnijmy pierwszą właściwość: załóżmy, że mamy wielomiany

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

i

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

To znaczy że # p_1 + p_2 # równa się

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # jest drugą pochodną tego wielomianu, tak jest

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Zastosowałem dwukrotnie regułę mocy dla wyprowadzenia: druga pochodna # x ^ n # jest #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Teraz obliczmy #T (p_1) #, tj. druga pochodna # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Podobnie, #T (p_2) #, tj. druga pochodna # p_2 #, jest

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Jeśli sumujesz te wyrażenia, możesz zobaczyć, że mamy

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Druga właściwość jest pokazana w podobny sposób: biorąc pod uwagę wielomian

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

mamy dla każdej liczby rzeczywistej #do#,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

jego druga pochodna jest więc

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

który jest taki sam jak komputer #T (p) #, a następnie pomnożyć wszystko przez #do#, tj. #T (cp) = cT (p) #